Сюрприз для «Сюрприза»
Фирма «Сюрприз» является монополистом на рынке хороших новостей. Спрос на ее продукцию описывается уравнением $Q_d=11-P$, где $Q$ — количество покупаемого товара, а $P$ — его цена. Средние издержки фирмы постоянны и равны 1. Для простоты будем считать, что выпуск фирмы может выражаться не только целым числом. Государство собирается обложить фирму налогом в размере 2 д.е. с каждой проданной единицы продукции. Вам предлагается рассмотреть последствия такого налогообложения в двух случаях: (1) фирма не знает заранее (в момент принятия решения о выпуске), что налог будет введен; (2) фирма заранее об этом знает.
Подпункты
а)
(4 балла) Допустим, в момент принятия решения об уровне выпуска фирма не знает о введении налога. Найдите выпуск фирмы, ее прибыль за вычетом налогов и сумму налоговых сборов, полученных государством.
б)
(4 балла) Допустим, в момент принятия решения об уровне выпуска фирма знает о введении налога. Найдите выпуск фирмы, ее прибыль за вычетом налогов и сумму налоговых сборов, полученных государством.
в)
(2 балла) Сколько фирма выиграет, если узнает заранее о введении налога? Сколько в этом случае потеряет государство?
г)
(7 баллов) Докажите, что, каковы бы ни были функция спроса на продукцию фирмы и функция издержек фирмы , а также сама ставка налога, выигрыш фирмы от того, что она заранее узнает о введении налога, не может быть больше , чем соответствующие потери государства. Иными словами, покажите, что система из двух данных агентов в целом проиграет, если информация о введении налога станет заранее доступна фирме.
Решение
(а) Фирма максимизирует прибыль без учета налога: $\pi(Q)=(11-Q)Q-Q\rightarrow\max$ Оптимум достигается в вершине параболы, $Q^{\star}=5$ . Сумма сборов равна $5\cdot 2=10$. Значит, прибыль фирмы после налогообложения равна 15. (б) Теперь фирма учитывает налог при выборе объема выпуска: $\pi(Q)=(11-Q)Q-Q-2Q\rightarrow\max$ Оптимум достигается в вершине параболы, $Q^{\star}=4$ . Сумма сборов равна $4\cdot 2=8$. Прибыль фирмы после налогообложения равна 16. (в) Узнав о введении налога и успев подстроить выпуск, фирма смогла заработать дополнительно $16-15=1$ д.е. При этом из-за того, что фирма узнала о введении налога, государство потеряло $10-8=2$ д.е. (г) Пусть $\pi(Q)$ — прибыль фирмы до уплаты налога как функция от ее выпуска. В ситуации, когда фирма не знает о налоге, она выбирает выпуск $Q_1$, который максимизирует эту функцию. Тогда прибыль фирмы, если она не знает о налоге, равна $\pi(Q_1)-T_1$ , где $T_1$ — налоговые сборы государства в данной ситуации. Обозначим за $Q_2$ выпуск, который фирма выбирает, если знает о налоге. Ее прибыль в этой ситуации равна $\pi(Q_2)-T_2$, где $T_2$ — налоговые сборы государства, если фирма знает о налоге. Тогда выигрыш фирмы от «знания о налоге» равен $(\pi(Q_2)-T_2)-(\pi(Q_1)-T_1)$ , а проигрыш государства равен $T_1-T_2$. Требуемое неравенство тогда запишется как $$(\pi(Q_2)-T_2)-(\pi(Q_1)-T_1)\leq T_1-T_2,$$ что эквивалентно $$\pi(Q_1)\geq \pi(Q_2).$$ Однако последнее неравенство верно, так как $\pi(Q_1)$ — это значение функции $\pi(Q)$ в точке максимума, а $\pi(Q_2)$ — это значение той же функции в какой-то точке. Ответ: см. выше. Примечание: Результат, доказываемый в пункте (г), тесно связан с концепцией «потерь мертвого груза», возникающих при косвенном налогообложении. В некотором роде, в данном задании требуется доказать, что такие потери неизбежно возникают, если фирма знает о налоге, и не возникают, если она о нем не знает. Таким образом, данный пункт призван подчеркнуть, что важной причиной возникновения потерь общества от налогообложения является то, что налоги «искажают» решения экономических агентов. Заметьте также, что анализ общественного благосостояния в задаче является неполным: мы не учитываем потребителя. На самом деле, потери мертвого груза будут еще больше, ведь благосостояние потребителей сократится, если фирма снизит выпуск.