Задача 3 НОЦ ВолНЦ РАН (Заочный тур, 9 класс, часть Б)
31 января 2015 года Иван взял в банке некую сумму в кредит на срок 4 года по ставке 25% годовых. Договор предусматривает погашение кредита по популярной аннуитетной схеме: в конце каждого года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 25%), а затем Иван переводит в банк фиксированный платеж в размере Z рублей. Банк рассчитал, что для того, чтобы долг был полностью выплачен за 4 года, Z должен равняться 625 тыс. рублей. Какую сумму Иван взял в кредит?
Решение
1. Обозначим искомую сумму кредита за K. В конце первого года долг составит: 1,25K − Z = 1,25K − 625 2. В конце второго года долг составит: 1,25 × (1,25K − 625) − 625 = 1,5625К – 781,25 − 625 = 1,5625К – 1406,25 3. В конце третьего года долг составит: 1,25 × (1,5625К – 1406,25) − 625 = 1,953125К – 1757,8125 − 625 = 1,953125К – 2382,8125 4. В конце четвертого года долг должен быть полностью погашен и равен 0: 1,25 × (1,953125К – 2382,8125) − 625 = 0 5. Решим уравнение: 2,44140625К – 2978,515625 − 625 = 0 2,44140625К = 3603,515625 К = 1476 Ответ: Иван взял в кредит 1476 тыс. руб.