Таксист Василий
Московский таксист Василий ежедневно выбирает себе количество рабочих часов $h \geq 0$. Почасовая ставка заработной платы Василия составляет $w$ рублей. Чем дольше рабочий день, тем сильнее устаёт таксист, поэтому издержки на работу в течение $h$ часов для него составляют $2h^2$. Выходя на работу, Василий рассчитывает заработать за день сумму $1600$ рублей, которая является для него точкой отсчёта: он сильно расстраивается, если у него не получается заработать ожидаемую сумму за день. Таким образом, функция полезности Василия имеет следующий вид: $$U(h) = \begin{cases} wh - 1600 - 2h^2, \text{если} \ wh \geq 1600 \\ 2,25 \cdot (wh - 1600) - 2h^2, \text{если} \ wh < 1600 \end{cases}$$ Запишите в аналитическом виде функцию предложения труда Василия $h^{*}(w)$, то есть функцию, выражающую количество часов, которое будет работать в день таксист Василий, в зависимости от почасовой ставки заработной платы. Является ли эта функция неубывающей на всём множестве $h \geq 0$?
Решение
При решении данной задачи можно дополнительно учитывать содержательное ограничение, не оговоренное в условии, что $h \leq 24$, а можно не учитывать. Стоит засчитывать оба варианта решения. Вариант 1 (не учтено ограничение $h \leq 24$) Найдём оптимальное количество часов $h^{*}$ для каждого участка (в обоих случаях график функции имеет вид параболы с ветвями вниз). При $h \geq \frac{1600}{w}$ имеем $U(h) = wh - 1600 - 2h^2$, то есть $h^{*} = \frac{w}{4}$ при $\frac{w}{4} \geq \frac{1600}{w} \leftrightarrow w \geq 80$ (3 балла) . При $w < 80$ вершина параболы (оптимум) выходит за границы ограничения, поэтому оптимальным при $w < 80$ на данном участке является $h^{*} = \frac{1600}{w}$ (2 балла) . При $h < \frac{1600}{w}$ имеем $U(h) = 2,25wh - 3600 - 2h^2$, то есть $h^{*} = \frac{2,25w}{4}$ при $\frac{2,25w}{4} < \frac{1600}{w} \leftrightarrow w < \frac{160}{3}$ (3 балла) . При $w \geq \frac{160}{3}$ вершина параболы (оптимум) выходит за границы ограничения, поэтому оптимальным при $w \geq \frac{160}{3}$ на данном участке является $h^{*} = \frac{1600}{w}$ (2 балла) . Поскольку для обеих парабол имеет место соотношение $U(\frac{1600}{w}) \leq U (\text{вершина})$, функция предложения труда имеет следующий вид: $h^{*}(w) = \begin{cases} \frac{2,25w}{4}, \text{при} \ 0 \leq w < \frac{160}{3} \\ \frac{1600}{w}, \text{при} \ w \in [\frac{160}{3}, 80) \\ \frac{w}{4}, \text{при} \ w \geq 80 \end{cases}$ Эта функция не является неубывающей на всем множестве $h \geq 0$ $\big($убывает на $w \in (\frac{160}{3}, 80) \big)$ (1 балл). Ответ: функция предложения труда имеет вид $h^{*}(w) = \begin{cases} \frac{2,25w}{4}, \text{при} \ 0 \leq w < \frac{160}{3} \\ \frac{1600}{w}, \text{при} \ w \in [\frac{160}{3}, 80) \\ \frac{w}{4}, \text{при} \ w \geq 80 \end{cases}$, она не является неубывающей на всем множестве $h \geq 0$ $\big($убывает на $w \in (\frac{160}{3}, 80) \big)$. Вариант 2 (учтено ограничение $h \leq 24$) Найдём оптимальное количество часов $h^{*}$ для каждого участка (в обоих случаях график функции имеет вид параболы с ветвями вниз). Первый участок. При $24 \geq h \geq \frac{1600}{w}$ имеем $U(h) = wh - 1600 - 2h^2$, то есть $h^{*} = \frac{w}{4}$ при $24 \geq \frac{w}{4} \geq \frac{1600}{w} \leftrightarrow 96 \geq w \geq 80$. При $w > 96$ вершина параболы (оптимум) выходит за границы ограничения, поэтому оптимальным при $w > 96$ на данном участке является $h^{*} = 24$. При $w < 80$ вершина параболы (оптимум) выходит за границы ограничения, поэтому оптимальным при $w < 80$ на данном участке является $h^{*} = \frac{1600}{w}$. Нужно, чтобы $\frac{1600}{w} \leq 24 \leftrightarrow w \geq \frac{200}{3}$. При $w < \frac{200}{3}$ не выполняется условие $24 > h$. Второй участок. При $h < \frac{1600}{w}, h \leq 24$ имеем $U(h) = 2,25wh - 3600 - 2h^2$, то есть $h^{*} = \frac{2,25w}{4}$ при $\frac{2,25w}{4} < \frac{1600}{w}, \frac{2,25w}{4} \leq 24 \leftrightarrow w \leq \frac{128}{3}$. $h^{*} = 24$, если $24 < \frac{1600}{w}, \frac{2,25w}{4} > 24 \leftrightarrow w \in [\frac{128}{3}; \frac{200}{3}]$ При $w \geq \frac{200}{3}$ вершина параболы (оптимум) выходит за границы ограничения, поэтому оптимальным при $w \geq \frac{200}{3}$ на данном участке является $h^{*} = \frac{1600}{w}$. Поскольку для обеих парабол имеет место соотношение $U(\frac{1600}{w}) \leq U(\text{вершина})$, а первый кусок отсутствует при $w \leq \frac{200}{3}$, функция предложения труда имеет следующий вид: $h^{*}(w) = \begin{cases} \frac{2,25w}{4}, \text{при} \ 0 \leq w < \frac{128}{3} \\ 24, \text{при} \ \frac{128}{3} < w \leq \frac{200}{3} \\ \frac{1600}{w}, \text{при} \ w \in (\frac{200}{3}; 80] \\ \frac{w}{4}, \text{при} \ (80; 96] \\ 24, \text{при} \ w > 96 \end{cases}$ Эта функция не является неубывающей на всем множестве $h \geq 0$ $\big($убывает на $w \in (\frac{200}{3}; 80)\big)$. Разбалловка: по 4 балла за каждый участок функции полезности (минус 2 балла, если пропущен какой-то из случаев ограничений на $w$), 2 балла за итоговую функцию предложения труда, 1 балл за вывод о невозрастании. Ответ: функция предложения труда имеет вид $h^{*}(w) = \begin{cases} \frac{2,25w}{4}, \text{при} \ 0 \leq w < \frac{128}{3} \\ 24, \text{при} \ \frac{128}{3} < w \leq \frac{200}{3} \\ \frac{1600}{w}, \text{при} \ w \in (\frac{200}{3}; 80] \\ \frac{w}{4}, \text{при} \ (80; 96] \\ 24, \text{при} \ w > 96 \end{cases}$ Она не является неубывающей на всем множестве $h \geq 0$ $\big($убывает на $w \in (\frac{200}{3}; 80)\big)$.