Тайное знание
Существует некие спрос на тайное знание и издержки производства тайного знания, о которых вам лучше не знать. Члены Тайного Общества Юристов города Тагила, которые планируют выйти на рынок производства тайного знания, обратились к вам с вопросом, сколько же тайного знания им нужно производить. "Проблема в том," - сказали они, - "что по закону мы сначала должны пользоваться услугами отечественных философов, которые могут произвести до $4$ единиц тайного знания. Так что до этого момента функция предельной прибыли будет иметь вид $0.25Q^2-2Q+1$. После этого мы можем уже обратиться к импортным философам, так что начиная от этой точки и до $8$ функция выглядит, как $\sqrt{-4Q^2+48Q-128}-3$. Больше $8$ единиц произвести уже нельзя". Так сколько же тайного знания нужно произвести? Считайте, что число тайного знания может выражаться любым действительным числом.
Решение
Преобразуем второй кусок функции: $\sqrt{-4Q^2+48Q-128}-3$ $\sqrt{16-(2(Q-6))^2}-3$ Это верхняя половинка овала, а именно окружности, сплющенной по оси икс в два раза. Нарисуем: На рисунке ошибка: вместо $MC$ должно быть $MPr$ Очевидно, что оптимальными точками являются либо $A$, либо $C$. Выбрав объем производства $A$, мы получим некую положительную прибыль. Нарастив прибыль до $С$, мы потеряем $a$ и получим $b$. Рассмотрим прямоугольники $m$ и $n$. $m$ полностью лежит в $a$, $b$ полностью лежит в $n$. Это значит, что $a>m$ и $n>b$. Поскольку $m=n$, то $a>b$, что означает, что нарастив производства до C, мы потеряем больше, чем выиграем. Значит оптимум в точке A. Найти его можно, приравняв уравнение первого куска к нулю и выбрав меньший корень. Ответ: $4-2\sqrt{3}$