Подержанные автомобили
На рынке подержанных автомобилей действует 101 продавец, каждый из которых хочет продать одну машину. Качество этих машин отличается с точки зрения покупателей: у первого продавца машина с 1 единицей качества, у второго — с 2 единицами и т. д. Если покупатель думает, что он покупает автомобиль с $X$ единицами качества, то он готов заплатить за него максимум $X+10$ рублей (если же ему удается купить такой автомобиль дешевле, чем за $X+10$, то будем говорить, что разница между ($X+10$) и ценой — его выигрыш). Покупателей много, так что по цене $X+10$ всегда можно продать сколько угодно автомобилей качества не ниже $X$. Кроме того, каждый продавец может отправить свой автомобиль на запчасти и получить за них столько рублей, сколько единиц качества имеет автомобиль (продавцы делают так, только если продажа целого автомобиля принесет им меньше, чем продажа запчастей).
Подпункты
а)
Предположим, что покупатели могут безошибочно определять качество автомобилей при покупке. Сколько автомобилей будет продано и по каким ценам?
б)
Предположим теперь, что качество ненаблюдаемо покупателями (они не могут отличить хороший автомобиль от плохого при покупке), поэтому продавать автомобили можно только по единой цене $P$. Найдите $S(P)$ — зависимость количества автомобилей, которые владельцы хотят продать, от их цены. Чему будет равно $AX(P)$ — среднее арифметическое качества предлагаемых по цене $P$ автомобилей?
в)
Поскольку потребители не могут определить качество, все они готовы платить за любую машину, продающуюся по цене $P$, как за машину со средним качеством, то есть не более $AX(P)+10$. Сколько автомобилей будет продано и какова будет их цена? Кто выиграет и кто проиграет по сравнению с ситуацией, когда качество автомобиля известно всем?
Решение
а) Поскольку качество наблюдаемо всеми, то у каждой машины будет свой рынок, т.к. все они являются разными товарами. Цену машины качества $X$ в равновесии нетрудно найти, ведь предложение машины качества $X$ совершенно неэластично при цене большей, чем $X$, и равно 1, а спрос — совершенно эластичен при цене $P_d=X+10$. Выходит, что будут проданы все машины, причем $$P(i)=i+10$$ Если бы цена была больше этого значения, то никто бы не покупал машины и продавцы бы снизили цены (ведь продавец готов продать машину качества $X$ за $X$ даже если он чувствует свою рыночную власть), а меньше она быть не может, т.к. при такой цене потребители начнут конкурировать и поднимут цену (если продавец сам ее не поднимет). б) Каждый отдельный владелец машины имеет такую функцию предложения: $$q_s^i(P)=\begin{cases}1\text{, если $P\ge i$}\\0\text{, если $P < i$}\end{cases}$$ Тогда общее рыночное предложение при цене $P\le 101$ будет равняться $P$. Действительно, при цене 1 будет предлагаться одна машина, при цене 2 — две, по цене 101 — сто одна машина. При ценах больших, чем 101, всегда будет предложен 101 автомобиль. Теперь нетрудно найти среднее качество машин $AX(P)$, которые будут предложены на рынке при цене $P$. Как мы уже установили, при цене $P$ будет предложено $P$ автомобилей, качество которых будет пробегать все целые значения от 1 до $P$. Тогда общее качество машин можно подсчитать как сумму арифметической прогрессии, а для нахождения среднего качества нужно будет просто поделить общее на число автомобилей. $$AX(P)=\frac{1+2+...+P}{P}=\frac{\frac{P(P+1)}{2}}{P}= \frac{P+1}{2}$$ Если, к примеру, цена равна 3, то будет продано три автомобиля (качества 1, 2 и 3), их среднее качество будет как раз равно 2. в) Если на рынке продаются автомобили среднего качества $AX(P)$, то потребители будут предъявлять абсолютно неэластичный спрос на уровне $P_d=AX(P)+10$. В равновесии цена $P_d$, которую готовы заплатить потребители, должна совпадать с ценой, которую получат продавцы, т.е. должно быть верно, что $P_d=P$. $$P = \frac{P+1}{2}+10 \Rightarrow P^*=21$$ При цене $21$ потребители готовы купить любое количество автомобилей, производители же при такой цене готовы будут предложить $Q_s(P^*)=21$ автомобиль. К примеру, при $P=3$, как было отмечено, будут предлагаться три автомобиля со средним качеством 2, в то время как люди готовы заплатить за машину с таким ожидаемым качеством 12 рублей. Аналогично, если бы цена предложения равнялась 101 рубль, то предлагалась бы 101 машина со средним качеством 51 — но люди готовы заплатить за машину с таким ожидаемым качеством всего 61 рубль. Если же цена равна 21, то предлагается 21 автомобиль со средним качеством 11— и как раз 21 рубль готовы покупатели платить за машину с таким качеством. Продавцы с качеством от 1 до 10 раньше получали за свои машины от 11 до 20, а теперь все они получат 21 — они выиграли. Покупатели этих машин проиграют ровно столько же (раньше бы они купили эти машины дешевле, чем по 21). Продавцы с качеством 21 получают 21 в любом случае — им без разницы, их покупателям тоже. Продавцы с качеством от 22 до 101 теперь вообще не продадут свои машины — они проиграли по 10 рублей каждый, отдав машины на запчасти. Их покупатели остаются без автомобилей, но раньше им было без разницы, покупать их или нет, так что они не проиграли.