Свежий взгляд на "старую" максимизацию
Функция полезности от потребления сладкого для Вовы Гореплюйкина имеет вид $U(x;y)=3lnx +y$, где Х – вес съеденных шоколадок «Сладкинс» в сотнях грамм, а У – вес съеденных конфет «БорБориса» в сотнях грамм. Друг Вовы, незабвенный Юра Сладкоежкин, посоветовал ему посетить магазин «Сладкие фантазии», который находится на перекрестке улицы Сладострастия и проспекта Нетерпения, так как там нынче проходит особенная акция: вместо того, чтобы платить за шоколадки «Сладкинс» 15 афро, можно отдать магазину 27 афро и покупать те же шоколадки по цене 6 афро за сто грамм. Цена же «БорБорисок» остается неизменной и равной 10 афрам. Свои ценные указания Юрий снабдил еще и 70-ью афрами, которые стали единственным денежным подарком Вовы на день рождения (остальные деньги он потратил на празднование). Найдите уравнение бюджетного ограничения Вовы Гореплюйкина и посоветуйте ему, как же лучше распорядиться своими деньгами.
Решение
Для решения задачи необходимо, прежде всего, разобраться с тем, что же из себя представляет кривая бюджетного ограничения. Действительно, если Вова не пользуется акцией, то записываем стандартное $P_x*X + P_y*Y = I$. Если же пользуется, то $P_x$ из 15 превращается в 6, а $I$ снижается на 27 (так как тепер у Вовы меньше денег для покупок). Какую из функций выбрать? Очевидно, что когда-то выгоднее пользоваться акцией, а когда-то нет. Но когда? Изобразим графики этих двух кривых. Из рисунка становится видно, что до $X<3$кривая номер 1 (без использования акции) лежит выше кривой номер 2, а при $X>3$ - ниже. Логично предположить, что при некотором значении Х, Вова будет стараться так использовать свои ограниченные финансовые ресурсы, чтобы максимизировать количество купленного товара У. Значит акцией выгодно пользоваться, лишь покупая больше 3-ех единицы товара Х. Итак, кривая бюджетного ограничения имеет следующий вид: $7.5X + 5Y=35$, при $X<3$, и $3X + 5Y =21.5$, $X>=3$. Ну а теперь займемся собственно оптимизацией. Заметим, что кривые безразличия имеют вид $Y= U - 3lnX$. Поскольку $Y''>0$, то они выпуклы вниз, и поэтому оптимум будет достигаться в точке касания кривой бюджетного ограничения и и наивысшей возможной кривой безразличия, при условии, что $X$ и $Y$ будут в случае касания положительными величинами. Нетрудно заметить, что кривые безразличия могут касаться обоих участков нашего бюджетного огранчиения. Так как $Y'$ монотонна и каждая следующая кривая безразличия получена из предыдущей путем вертикального переноса, то каждое свое значение производная любой из этих кривых принимает единожды и при одном и том же значении $X$. Значит решаем два раза уравнение равенства производных для кривой безразличия и 2-ух разных участков, в первом случае $X$=2, $Y$же, соответственно, 4. Во втором случае $X$=5, $Y$=1,3. Все числа попали на свои участки и являются строго положительными. После подстановки в функцию полезности убеждаемся, что Вове все же следует использовать акцию. Ответ: 500 грамм шоколадок и 130 грамм конфет