Работник недели
В Задаче 5 Конкурса РЭШ прошлого года участникам предлагалось объяснить, зачем фирмы используют переходящую систему наград для поощрения своих сотрудников. В этой задаче мы рассмотрим модель конкуренции между работниками за такие премии. В отделе маркетинга некой компании работают два сотрудника — Юля и Ваня. Каждый из них может придумывать креативную или стандартную рекламу. Один сотрудник не может придумать две рекламы. Создание стандартной рекламы не влечет за собой издержек, в то время как для креативной рекламы необходимо больше усилий. Денежный эквивалент издержек на создание креативной рекламы для Юли равен 20 тысяч рублей, а для Вани (ему сложнее дается нестандартное мышление) — 30 тысяч рублей. Стандартная реклама всегда приносит компании 20 тысяч рублей, в то время как охват креативной рекламы менее предсказуемый и поэтому креативная реклама с вероятностью 0.7 приносит 60 тысяч рублей, однако с оставшейся вероятностью 0.3 реклама может провалиться и принести лишь 10 тысяч рублей. Вероятности независимы друг от друга, то есть, например, вероятность того, что обе рекламы не провалятся (при создании креативной рекламы Ваней и Юлей) равна $0.7 \cdot 0.7 = 0.49$, вероятность того, что реклама Юли провалится, а реклама Вани — нет, будет равна $0.3 \cdot 0.7 = 0.21$. Аналогично, вероятность того, что реклама Вани провалится, а реклама Юли — нет, будет равна $0.7 \cdot 0.3 = 0.21$, а вероятность того, что обе рекламы провалятся, будет равна $0.3 \cdot 0.3 = 0.09$. Фирма предлагает премию работнику недели — сотруднику, который принес компании больше всего денег. Размер премии составляет $P$ тысяч рублей, а второй работник получает $L$ тысяч рублей. Если оба работника приносят фирме одинаковую сумму, то премиальный фонд распределяется поровну, то есть каждый сотрудник получает $\frac{P+L}{2}$. Юля и Ваня максимизируют математическое ожидание своей премии 1 минус издержки на создание рекламы. При решении задачи предполагается, что если сотруднику безразлично, создавать креативную рекламу или обычную, он(а) выберет креативную.
Подпункты
а)
Пусть $P = 50$, $L = 0$. Какую рекламу (креативную или стандартную) решат создавать Ваня и Юля? Стратегии Вани и Юли должны образовывать равновесие Нэша — ситуацию, при которой Ване не выгодно изменить свой выбор, если Юля не изменит свой, а Юле не выгодно изменить свой выбор, если Ваня не изменит свой.
б)
Пусть теперь $P$ и $L$ могут быть любыми, такими, что $P \geq 0$; $0 \leq L < P$. Какую рекламу (креативную или стандартную) решат создавать Ваня и Юля в равновесии Нэша? Ваш ответ может зависеть от $P$ и $L$.
в)
Как зависит решение Вани и Юли от значения параметров $P$ и $L$? Становится ли более или менее выгодной создание креативной рекламы для каждого из них при увеличении только $P$ или $L$, а также при их одновременном увеличении на одну и ту же величину? Объясните наблюдаемую зависимость интуитивно.
г)
Существуют ли такие значения параметров $P$ и $L$, такие, что $P \geq 0$; $0 \leq L < P$, и при этом Юле и Ване выгодно договориться и отклониться от равновесия Нэша, т. е. производить другой вид рекламы? Почему такое отклонение может не происходить в реальности?
д)
Фирма получает доход как от выбранной Юлей рекламы, так и от рекламы Вани. Какие значения $P$ и $L$ выберет руководитель отдела маркетинга, максимизируя ожидаемую прибыль компании, то есть ожидаемый доход от рекламы минус ожидаемые расходы на премии? Чему равняется эта ожидаемая прибыль? Примечание. Ожидаемые доходы и расходы подсчитываются аналогично: если доходы (расходы) равны $c_1$ с вероятностью $p_1$, $c_2$ с вероятностью $p_2$ и $c_3$ с вероятностью $(1 - p_1 - p_2)$, то ожидаемые доходы (расходы) составят $p_1 \cdot c_1 + p_2 \cdot c_2 + (1 - p_1 - p_2)\cdot c_3$. 1 Если доход равен $P$ с вероятностью $p_1$, $L$ с вероятностью $p_2$ и $(P+L)/2$ с вероятностью $(1 - p_1 - p_2)$, то математическое ожидание дохода (ожидаемый доход) составит $p_1 \cdot P + p_2 \cdot L + (1 - p_1 - p_2)\cdot \frac{P+L}{2}$.
Решение
Решение пункта (а) — это частный случай пункта (б). Поэтому мы сперва решим пункт (б), а затем вернёмся к пункту (а). Участники Конкурса могли сперва решить пункт (а). Все расчёты мы будем производить в тысячах рублей. б) Необходимо рассмотреть 4 ситуации в зависимости от того, какой вид рекламы делают Юля и Ваня. Случай I. И Юля, и Ваня делают стандартную рекламу. Тогда они оба приносят компании 20 тыс. руб. и делят фонд зарплаты пополам; каждый получает $0.5P + 0.5L$ и не несет никаких издержек. Случай II. Юля делает креативную рекламу, а Ваня — стандартную. Тогда с вероятностью $0.7$ реклама Юли будет успешна. В этом случае она получит $P$, а Ваня $L$. С вероятностью $0.3$ реклама Юли провалится. Тогда Юля получит $L$, а Ваня $P$. Значит, ожидаемый выигрыш Юли с учетом издержек составляет $0.7P + 0.3L - 20$, а ожидаемый выигрыш Вани — $0.3P + 0.7L$. Случай III. Ваня делает креативную рекламу, Юля — стандартную. Этот случай аналогичен предыдущему. Единственное отличие заключается в том, что издержки для Вани будут составлять 30 тысяч рублей, а не 20. Значит, выигрыш составит $0.3P + 0.7L$ для Юли и $0.7P + 0.3L - 30$ для Вани. Случай IV. Оба делают креативную рекламу. Возможны 4 исхода: реклама и Вани, и Юли успешна (с вероятностью $0.7 \cdot 0.7 = 0.49$); успешна реклама только Вани (с вероятностью $0.7 \cdot 0.3 = 0.21$); успешна реклама только Юли (0.21); реклама обоих провальна (0.09). В первом и последнем исходе Юля и Ваня делят фонд пополам, а в остальных премию получает тот, чья реклама не провалилась. Записав выигрыши, можно увидеть, что ожидаемый выигрыш составляет $0.5P + 0.5L - 20$ для Юли и $0.5P + 0.5L - 30$ для Вани. Теперь найдём, каким будет равновесие в зависимости от $P$ и $L$. Сначала найдём, когда равновесной будет ситуация, при которой и Ваня, и Юля делают креативную рекламу. В этом случае должна выполняться система: \[ \begin{cases} 0.5P + 0.5L - 20 \geq 0.7L + 0.3P, \\ 0.5P + 0.5L - 30 \geq 0.7L + 0.3P \end{cases} \] Решая эту систему, получаем, что это равновесие соответствует случаю $P \geq L + 150$. В этом случае оба делают креативную рекламу. Теперь рассмотрим равновесие, в котором Юля делает креативную рекламу, а Ваня — стандартную. Аналогично, получаем систему: \[ \begin{cases} 0.7P + 0.3L - 20 \geq 0.5P + 0.5L, \\ 0.7L + 0.3P \geq 0.5P + 0.5L - 30 \end{cases} \] Решением этой системы является $L + 100 \leq P \leq L + 150$. В этом случае креативную рекламу делает только Юля. Теперь рассмотрим равновесие, в котором Юля делает стандартную рекламу, а Ваня — креативную. Требуемая система уравнений: \[ \begin{cases} 0.7P + 0.3L - 30 \geq 0.5P + 0.5L, \\ 0.7L + 0.3P \geq 0.5P + 0.5L - 20 \end{cases} \] Решением этой системы является $L + 100 \leq P \leq L + 150$. Такая система не имеет решений. Значит, случай III невозможен в равновесии. Наконец, рассмотрим ситуацию, когда оба делают стандартную рекламу. Система в этом случае: \[ \begin{cases} 0.5P + 0.5L \geq 0.7P + 0.3L - 20, \\ 0.5P + 0.5L \geq 0.7P + 0.3L - 30 \end{cases} \] Решая эту систему, мы получаем $P \leq L + 100$. В этом случае оба делают стандартную рекламу. Если строго следовать условию, корректным ответом будет следующий: оба делают креативную рекламу при $P \geq L + 150$, только Юля делает креативную рекламу при $L + 100 \leq P < L + 150$, и никто не делает креативную рекламу иначе. а) $P = 50$, $L = 0$ относится к случаю $P \leq L + 100$. При таком значении параметров и Юля, и Ваня будут делать стандартную рекламу. в) Как описано выше, оба делают креативную рекламу при $P - L \geq 150$, только Юля делает креативную рекламу при $100 \leq P - L < 150$, и никто не делает креативную рекламу иначе. Значит, если $P$ и $L$ вырастают на одну и ту же величину, ситуация не меняется — стимулы создаются благодаря разнице между премией и обычной выплатой, а не благодаря размеру премиального фонда. Увеличение $P$ в некоторых границах, равно как и уменьшение $L$, делают разрыв между премией и обычной выплатой более заметным, что увеличивает стимулы создавать креативную рекламу. г) Да, такая ситуация возможна. Рассмотрим равновесие, соответствующее Случаю IV, то есть $P \geq L + 150$. В этом случае ожидаемый выигрыш составляет $0.5P + 0.5L - 20$ для Юли и $0.5P + 0.5L - 30$ для Вани. Если Ваня и Юля договорятся делать стандартную рекламу, выигрыш каждого увеличится до $0.5P + 0.5L$. Такое отклонение, впрочем, не соответствует создаваемым стимулам — в этом случае Юле будет выгодно отклониться от договорённости и создать креативную рекламу. д) Заметим сразу, что выбор Юли и Вани зависит исключительно от разницы между $P$ и $L$, в то время как прибыль фирмы строго убывает по $L$, поскольку расходы равны $P + L$. Значит, фирме оптимально всегда назначать $L = 0$. При этом, чем меньше значение $P$, тем меньше расходы фирмы. Тогда у фирмы есть три варианта: Назначить $P \leq 100$ и стимулировать обоих сотрудников делать стандартную рекламу; Назначить $100 \leq P \leq 150$, чтобы Юля делала креативную рекламу; Назначить $P \geq 150$, чтобы оба делали креативную рекламу. В первом случае лучше всего назначить $P = L = 0$ и получить прибыль в размере 40 тысяч рублей. Во втором случае выгодно назначить $P = 100$. Тогда с вероятностью $0.7$ реклама Юли не провалится и фирма получит выручку $60 + 20 = 80$ тысяч рублей, а с вероятностью $0.3$ — $10 + 20 = 30$ тысяч рублей. Ожидаемая прибыль равна $0.7 \cdot 80 + 0.3 \cdot 30 - 100 = 56 + 9 - 100 = -35$ тыс. руб. В третьем случае при $P = 150$: $0.49 \cdot 120 + 0.42 \cdot 70 + 0.09 \cdot 20 - 150 = 58.8 + 29.4 + 1.8 - 150 = 90 - 150 = -60$ тыс. руб. Значит, оптимален первый случай — фирма установит $P = L = 0$ и получит прибыль в размере 40 тысяч рублей.