Задача 5 ОЧ-2018 11 класс
Воскресенье, вечер. Уезжая на две недели, мама оставляет юному финансисту Егору 100 рублей. Еще 100 рублей мама отправит ему через неделю рано утром в понедельник. Других источников финансирования у Егора нет. Егор закончил курсы по финансам и знает, что свое состояние можно приумножить, если грамотно распорядиться своими активами. Только сейчас (вечером в воскресенье) у него есть уникальная возможность купить акции некоторой компании $Dengoff ~Group$ по цене 1 рубль за акцию. В дальнейшем купить эти акции будет невозможно. Количество акций не обязательно целое. На протяжении первой недели Егор сможет продать 1 акцию только за 0,5 рублей, зато на протяжении второй недели - за целых 2 рубля. Еще у юного финансиста есть счет в некотором $Credit ~Svas$ банке, где он может взять кредит или же оформить вклад по ставке 25% в неделю. Егор может осуществлять операции в банке только по утрам в понедельник. Егор все свои деньги тратит на мятную жвачку, которая всегда стоит 1 руб за штуку. Количество штук не обязательно целое. Егор не расстраивает маму, поэтому, когда она приедет, у него не может быть долгов перед банком.
Подпункты
1)
Функция полезности Егора $U(C_1, C_2) = C_1^2 \cdot C_2$, где $C_1$ - потребленная жвачка в течение первой недели, $C_2$ - потребленная жвачка в течение второй недели. Егор максимизирует полезность. Изобразите в координатах $C_1, C_2$ возможности Егора. Сколько жвачки купит Егор в течение каждой недели, сколько акций купит и будет ли пользоваться возможностями банка и, если будет, то как?
2)
В $Credit ~Svas$ банке произошли перемены, и теперь максимальная сумма взятого в течение первой недели кредита не может превышать половины дохода, получаемого от мамы в начале недели. Изобразите в координатах $C_1, C_2$ все доступные Егору комбинации уровней потребления в первом и втором периодах.
3)
Ответьте на вопросы первого пункта.
Решение
1) От участников требуется заметить, что делать вклад в таком случае не выгодно. Максимум потребления в первом периоде достигается следующим образом: Егор покупает 100 акций вечером в воскресенье, берет кредит в размере 240 рублей в понедельник и гасит его в следующий понедельник за счет проданных акций (200 рублей) и полученными от мамы деньгами (100 рублей). Итого 240 рублей на первой неделе, 0 рублей на второй. Максимум потребления во втором периоде достигается следующим образом: Егор покупает 100 акций, на второй неделе они приносят ему 200 рублей, и еще 100 рублей от мамы. Итого 0 рублей в первом периоде, 300 во втором. $$\begin{gathered}C_2=300-1,25C_1 \\ U(C_1)=C_1^2(300-1,25C_1) \longrightarrow \max \\ U'(C_1)=600C_1-3,75(C_1)^2=0 \\ C_1^*=160,\ C_2^*=100\end{gathered}$$ Берет кредит в размере 240, покупает 100 акций. 2). При $C_1 \leq 50$ имеем старое бюджетное ограничение: Егор покупает 100 акций и берет кредит на первой неделе (наклон 1,25). При $C_1 \geq 50$ Егор не может брать кредит, поэтому, чтобы увеличить потребление в первом периоде, он вынужден отказываться от купленных акций (наклон 2). Больше, чем 150, в первом периоде Егор потребить не может: он тратит 100 и берет кредит в размере 50, выплачивает 62,5 на второй неделе. Таким образом, у него остается 37,5 на второй неделе. 3) $C_1^* = 112,5$, $C_2^* = 112,5$ Берёт кредит в размере 50, покупает 37,5 акций.