Джини и Робин Гуд - 2
Как вы знаете, помимо индекса Джини ($G$) существует ещё один показатель неравенства доходов — индекс Робин Гуда ($H$). Он показывает, какая минимальная доля суммарного дохода должна быть перераспределена от более богатых к бедным, чтобы в обществе наступило полное равенство. Учитывая, что индекс Робин Гуда можно вычислить как максимальное вертикальное расстояние между кривой Лоренца и линией абсолютного равенства, докажите, что для любых распределений дохода выполняются неравенства: $$H \leqslant G \leqslant 2H.$$
Решение
1) Общение сведения: Индекс Джини $G$ определяется как $$ G = \dfrac{S}{0.5} = 2S, $$ где $S$ - площадь области между диагональю и кривой Лоренца. Индекс Робин Гуда $H$ можно вычислить как максимальное вертикальное расстояние между кривой Лоренца и линией абсолютного равенства: $$ H = \max_{0\le x \le 1}\bigl(d(x)\bigr)=\max_{0\le x \le 1}\bigl(x - y(x)\bigr), $$ где $y(x)$ - уравнение кривой Лоренца, $d$ — вертикальное расстояние между линией абсолютного равенства и кривой Лоренца. 2) Верхняя оценка: $G \leqslant 2H$. Из метода рассчета индекса Робин Гуда имеем неравенство: $$ d(x) \leqslant H \quad \text{для всех } x\in[0,1]. $$ Это означает, что график функции $d(x)$ целиком лежит под горизонтальной прямой $y=H$. Следовательно, площадь под графиком $d(x)$ на отрезке $[0,1]$ не превосходит площади прямоугольника ширины $1$ и высоты $H$, откуда следует что $$ S \le H. $$ или $$ G = 2S \le 2H. $$ 3) Нижняя оценка: $H \leqslant G$. Кривая Лоренца по определению выпукла вверх: её график лежит не выше любой своей хорды. Понимая, что $d(x) = x - y(x)$ и кривая Лоренца по определению выпукла вверх, $d(x)$ - вогнутая функция (разность линейной функции и выпуклой функции). Обозначим точку, в которой $d(x)$ достигает максимума, через $x_0$, т.е. $ d(x_0) = H.$ Рассмотрим три точки на графике $d(x)$: $$ A=(0,0),\quad B=(x_0,H),\quad C=(1,0). $$ Из вогнутости $d(x)$ следует: 1. на отрезке $[0,x_0]$ график $d(x)$ лежит не ниже хорды $AB$; 2. на отрезке $[x_0,1]$ график $d(x)$ лежит не ниже хорды $BC$. Значит, площадь под графиком $d(x)$ на $[0,1]$ не меньше площади под ломаной, проходящей через точки $A$, $B$, $C$, а последняя равна площади треугольника $ABC$. У треугольника $ABC$ основание по оси $x$ равно $1$ (от $0$ до $1$), а высота по оси $y$ равна $H$. Поэтому его площадь равна $$ S_{ABC} = \frac{1}{2}\cdot 1 \cdot H = \frac{H}{2}. $$ Так как график $d(x)$ не ниже ломаной, площадь под графиком $d(x)$ не меньше $S_{ABC}=\frac{H}{2}$. Откуда $$ G = 2S \geqslant 2\cdot \frac{H}{2} = H. $$ 4) Вывод: для любых допустимых кривых Лоренца всегда выполнется неравенство $$ H \leqslant G \leqslant 2H. $$