Перераспределение доходов
Предположим, что в некоторой стране N проживают три группы населения: бедные, средний класс и богатые. Группы равны по численности жителей, но различаются по уровню дохода: средний класс зарабатывает в два раза больше, чем бедные, а богатые зарабатывают в два раза больше, чем средний класс. Внутри групп доходы распределены равномерно. Совокупный доход всех жителей страны равен Y.
Подпункты
а)
Нарисуйте график кривой Лоренца и рассчитайте индекс Джини. (5 баллов)
б)
Какой прогрессивный подоходный налог необходимо ввести, чтобы в стране N достичь абсолютного равенства доходов? Найдите величину доходов госбюджета от введения данной меры. (4 балла)
в)
Известно, что до введения прогрессивного налога богатые работали всё рабочее и свободное время, средний класс – тратили часть досуга на работу, а бедные – работали только положенные по закону 8 часов. Все индивиды рациональны и высоко ценят свой досуг и могут выбирать, сколько времени они будут работать. Что произойдёт после введения прогрессивного подоходного налога и как изменятся доходы государства? (3 балла)
г)
В Министерстве финансов подсчитали, что при введении прогрессивного налога $t$ (величина задана в долях от дохода), доля жителей, желающих перейти в более низкую социальную группу, составит $2t$. Найдите такую ставку t, при которой налоговые поступления будут максимальными и в стране N будет достигнуто абсолютное равенство доходов. (3 балла)
Решение
(а) Пусть бедные получают Х, средний класс – 2Х, а богатые – 4Х. Тогда доход жителей всей страны равен Y=7Х, где Х=1/7 (в долях). Доля каждой группы равна 1/3. (1 балл) График оценивается в 2 балла. $$G=\frac{1/2*1*7X-(1/2*1/3*(X+2X+4X)+2*1/3*X+1/3*2X)}{1/2*1*7X}$$ (2 балла) б) Абсолютное равенство достигается при равенстве доходов после уплаты налогов трех групп населения: $(1-t_{poor}^*)*X=(1-t_{middle}^*)*2X=(1-t_{rich}^*)*4X$ (1 балл) Определим в общем виде все t* (по 1 баллу) . $(1-t_{poor}^*)*X=(1-t_{middle}^*)*2X$ , получим $t_{middle}^*=1/2(t_{poor}^*+1)$ $(1-t_{poor}^*)*X=(1-t_{rich}^*)*4X$, получим $t_{rich}^*=1/4(t_{poor}^*+3)$ Обозначим $t = t*_{poor}$ $t_{middle}^*=1/2(t+1)$ $t_{rich}^*=1/4(t+3)$ (1 балл) Доходы государства: Т = t*X+1/2(t+1)*2X+(1/4t+3/4)*4X=3Xt+4X=3/7tY+4/3Y в) После уплаты налогов все три группы будут получать одинаковый доход. Поэтому коэффициент Джини станет равен нулю. Так как все ценят не только сумму заработанных средств, но и свободное время, то богатые и средний класс могут снижать время работы или вовсе отказываться от дополнительного заработка в пользу свободного времени. В этом случае доходы государства будут сокращаться. (2 балла) В предельном случае, если бы средний класс и богатые отказались вовсе от дополнительного заработка в пользу свободного времени, доходы государства составили бы Т = 3tX, что на 4Х меньше налоговых поступлений в пункте (б). (1 балл) г) Выразим налоговые поступления (2 балла) : $ 4X*(1/4t+3/4)*(1-2t)+2X*(1/2t+1/2)*(1-2t+2t)+X*t*(1+2t) \rightarrow max$ $7/2-3t \rightarrow max$ t=0 В каждом слагаемом первый множитель – доход (4Х, 2Х, Х); второй множитель – ставка налога, посчитанная в предыдущем пункте; третий множитель – доля людей, перешедшая в более бедную группу и пришедшая из более богатой группы. Значит, оптимальные налоги на богатых – 75%, на средний класс – 50%, на бедных – 0%, ни один из индивидов не перейдет в другую социальную группу (1 балл) .