Тот, кто стучит в дверь

1) Для ответа на вопрос задачи нам необходимо посчитать еженедельную сумму, которую Беляков будет получать на руки после всех перераспределений и оплаты расходов. По условию вся легальная зарплата уходит на оплату дома и прочие обязательные траты, а значит её можно не учитывать. Получается, Беляков получит половину денег от продажи 4 фунтов субстанции с учётом конфискации 5% и за вычетом расходов на лечение: $$\pi=\dfrac{2000\times 16\times 4}{2}\times 0.95-10000=50800 - 1.5 \text{ балла}$$ Тогда легко посчитать срок, за который он получит необходимую сумму в 737 000: $$t=\dfrac{737000}{50800}=14,508 - 0.5 \text{ балла}$$ Это значит, что за 14 недель он ещё не соберёт нужной суммы, но зато соберёт за 15. Ответ: 15 недель - 1 балл Критерии при отличающемся решении: 1 балл за весь пункт – если при расчёте суммы еженедельного дохода было потеряно одно из условий: разделение средств с партнёром, конфискация 5% субстанции, учёт расходов на лечение. 1 балл за весь пункт – если учтена легальная зарплата, но не учтены бытовые расходы и наоборот. За ответ «14.5 недель» баллы не снимались. 2) С учётом увеличившегося процента конфискаций, ожидаемый недельный заработок гражданина Белякова (в случае если его не поймают) изменился: $$\pi=\dfrac{2000\times 16\times 4}{2}\times 0.85-10000=44400 - 1 \text{балл}$$ Вероятность поимки на n-ой неделе: $(p+n-1)$% - (1 балл при отсутствии дальнейшего решения или неправильном решении). Чтобы посчитать ожидаемый заработок на n-ой неделе с учётом того, что Беляков потеряет все деньги, если его поймают, можно «переформулировать» задачу так: Каждую неделю все уже заработанные деньги Беляков «сдаёт», после чего играет в лотерею, в которой либо получает назад все «сданные» деньги и ещё 44 400 бонусом с вероятностью $1-\dfrac{p+n-1}{100}$, либо ничего не получает с вероятностью $\dfrac{p+n-1}{100}$. Как только Беляков получает первый 0 – игра заканчивается. Значит, он получит выигрыш на n-ой неделе только если его не поймают ни на одной из предыдущих. Тогда ожидаемый заработок на n-ой неделе: $$44400\times n\times \left(1-\dfrac{p}{100}\right)\times \left(1-\dfrac{p+1}{100}\right)...\left(1-\dfrac{n+p-1}{100}\right)=44400n\times \prod_{n=1}^{n}\left(1-\dfrac{n+p-1}{100}\right) \text(2 балла)$$ По условию Беляков не открывает производство, если рискует не заработать необходимую сумму за 24 недели, а значит выражение выше нужно переписать для n=24 и сравнить с 737 000. $$\begin{array}{c}44400\times 24 \times\prod_{n=1}^{24}\left(1-\dfrac{n+p-1}{100}\right) \lt 737000 \\ 1065600 \times\prod_{n=1}^{24}\left(1-\dfrac{n+p-1}{100}\right) \lt 737000 \\ \prod_{n=1}^{24}\left(1-\dfrac{n+p-1}{100}\right)< 0.692 \qquad \textbf(1 балл)\end{array}$$ Для наглядности распишем: $$\left(1-\dfrac{p}{100}\right)\times \left(0.99-\dfrac{p}{100}\right)\times \left(0.98-\dfrac{p}{100}\right)...\left(0.77-\dfrac{p}{100}\right) \lt 0.692$$ Заметим, что $\left(1-\dfrac{p}{100}\right)\times \left(0.99-\dfrac{p}{100}\right)\times \left(0.98-\dfrac{p}{100}\right)...\left(0.77-\dfrac{p}{100}\right) \lt 1 \times 0.99 \times 0.98 \times ... \times 0.77.$ Заметим так же, что $0.77\times 0.78=0.601 \lt 0.692$. Нетрудно заметить, что в правой части предыдущего неравенства $0.77\times 0.78$ домножается на несколько значений, меньших единицы. Следовательно, $$\begin{array}{c}1 \times 0.99 \times 0.98 \times ... \times 0.77\lt 0.692 \\ \left(1-\dfrac{p}{100}\right)\times \left(0.99-\dfrac{p}{100}\right)\times \left(0.98-\dfrac{p}{100}\right)...\left(0.77-\dfrac{p}{100}\right)\lt 0.692 , \text{ для любого } p \end{array}$$ 2 балла за правильное рассуждение. Может быть он сможет заработать нужную сумму быстрее? $$\dfrac{737000}{44400}=16.699 - 1 \text { балл}$$ Значит, даже если бы гражданина Белякова не пытались поймать, ему бы потребовалось 17 недель на сбор необходимой суммы. 100-17-83, а значит вероятность собрать нужную сумму за семнадцать недель была бы меньше 83%, при необходимых 0,97 (737 000 / 754 800) – 1 балл. Очевидно, что при всех $n\in [17;24]$, вероятность поимки растёт слишком стремительно, и прирост платежа не способен это компенсировать. Таким образом мы проверили, что при любом p гражданин Беляков не стал бы открывать производство – 1 балл. Критерии в случае неправильных или альтернативных решений: Ответ «Риск не заработать нужную сумму есть всегда, т.к. вероятность поимки как минимум со второй недели станет выше 0» и подобные ему оценивались в 0 баллов. Ответ «При вероятности поимки выше 50% Беляков уйдет с рынка, поэтому …» и подобные ему оценивались в 0 баллов. Ответ «Беляков уйдёт с рынка при вероятности поимки 100%, поэтому…» и подобные ему оценивались в 0 баллов. Если в решении присутствовала попытка посчитать ожидаемый платёж (хоть и неверная) решение оценивалось от 2 до 7 баллов, в зависимости от тяжести допущенных ошибок. 3) Поскольку в вопросе задачи спрашивается о сроке, за который на счету гражданина Белякова будет собрана необходимая сумма, мы должны посчитать только номинальное количество денег на счету. Годовая ставка процента нам дана. Каждый месяц гражданин мог бы откладывать по 3 000. Тогда ежемесячный процент по вкладу был бы $(1.015)^{\frac{1}{12}}$ Тогда сумма на вкладе на конец n-ного месяца будет считаться следующим образом: $$3000 \times (1.015)^{\frac{n}{12}} + 3000 \times (1.015)^{\frac{n-1}{12}} + . . . + 3000 \times (1.015)^{\frac{1}{12}}+3000$$ И нам надо найти такое n, при котором эта сумма больше или равна 737 000: $$3000 \times (1.015)^{\frac{n}{12}} + 3000 \times (1.015)^{\frac{n-1}{12}} + . . . + 3000 \times (1.015)^{\frac{1}{12}}+3000 \ge 737000$$ Заметим, что эта сумма – сумма членов геометрической прогрессии. Такая сумма рассчитывается по формуле: $$ S_{n}=\frac{b_{1}(q^{n}-1)}{q-1} ,\text{где $b_{1}$ − первый член прогрессии,а $q$ −её знаменатель}. $$ В нашем случае $b_{1}=3000, q=(1.015)^{\frac{1}{12}}$ тогда: $$ S_{n}=\frac{3000\left((1.015)^{\frac{n}{12}}-1\right)}{(1.015)^{\frac{1}{12}}-1}$$ Если имеющийся калькулятор умеет вычислять только квадратные корни, можно заметить, что $(1.015)^{\frac{1}{8}}\approx 1.0019$, a $(1.015)^{\frac{1}{16}}\approx 1.0009$,из чего можно сделать вывод, что $(1.015)^{\frac{1}{12}}\approx 1.001$. Если же он позволяет считать корни 2 и 3 или любой степени, то $(1.015)^{\frac{1}{12}}\approx 1.0012$. Отсюда: $$ \begin{array}{c}S_{n}=\frac{3000\left((1.015)^{\frac{n}{12}}-1\right)}{0.0012} \\ S_{n}=200000 \times (1.015)^{\frac{n}{12}}-1 \\ 2500000 \times (1.015)^{\frac{n}{12}}-1 \ge 737000 \\ (1.015)^{\frac{n}{12}}-1 \ge 0.2948 \\ (1.015)^{\frac{n}{12}} \ge 1.2948 \\ \frac{n}{12}=\log_{1.015} 1.2948 \\ n=12 \log_{1.015} 1.2948 \end{array}$$ Если имеющийся под рукой калькулятор умеет вычислять логарифмы, то n=208.2. Тогда количество лет, которое потребуется на накопление нужной суммы - $\log_{1.015} 1.2948=17.4$. Тогда, чтобы накопить нужную сумму к 50 годам, гражданину Белякову нужно было начать сберегать в 32 года (или 32 года и 7 месяцев). Если же калькулятор такого не позволяет, то ответ можно записать в виде: $$50-\log_{1.015} 1.2948$$ Критерии оценивания: За полностью правильное решение ставилось 3 балла. Если участник принимал ставку в 1.5% за ежемесячную - такой подход принимался и оценивался аналогично решению для годовой ставки (с поправкой на изменения в численных значениях). Если в работе присутствовало объяснение, что можно пренебречь ежемесячными процентами в связи с малым их значением (0 при округлении до второго знака после запятой), решение с начислением процентов только в конце года (без капитализации) считалось верным и оценивалось из критериев, аналогичных оригинальному решению. Если был использован в явном виде тот факт, что при маленьких значениях сумма чисел примерно равна их произведению и ежемесячный процент считался как 1.5/12=0.125 %/мес, такое решение считалось верным и оценивалось из критериев, аналогичных оригинальному решению. За правильный ход решения с реальными процентами (с поправкой на изменения в численных значениях) ставилось 2 балла. При отсутствии полностью правильного решения: 1 балл ставился за правильную формулу суммы вклада в конце срока хранения с учётом сложных процентов. 1 балл ставился за расчёт количества месяцев/лет, необходимых для заработка 737 000 методом ежемесячного откладывания 3 000/ежегодного откладывания 36 000 без начисления процентов.