Богатые и бедные
В каждой из двух стран можно выделить две однородные группы населения: бедные, наиболее многочисленные и наименее обеспеченные, и богатые, малочисленные и владеющие большей частью дохода страны. Неравенство в стране A в 2 раза выше, чем неравенство в стране Б. Доля дохода бедных в стране А в 3 раза меньше, чем в стране Б, а доля группы бедных в стране А в 2 раза меньше, чем доля группы бедных в стране Б. Степень неравенства оценивается с помощью индекса Джини. Найдите тангенс угла наклона нижнего участка кривой Лоренца, построенной для страны А.
Решение
В случае, когда есть две однородные группы, кривая Лоренца выглядит так: Вопрос задачи заключается в том, чтобы найти тангенс угла, обозначенного на рисунке как $\varphi $. На рисунке x – это доля бедных, а y – это доля доходов бедных. Сначала поясним, как найти индекс Джини, зная долю доходов бедных и долю их численности. Площадь под кривой Лоренца равна $$0.5xy+0.5(y+1)(1-x)=0.5(y-x+1)$$ (2 балла). Площадь между кривой равномерного распределения доходов и кривой Лоренца: $$0.5-0.5(y-x+1)=0.5(x-y)$$ (2 балла). Таким образом, индекс Джини равен: $G=\frac{0.5(x-y)}{0.5}=x-y$ (2 балла). По условию задачи $G_A=2G_B; \ y_B=3y_A; \ x_B=2x_A$. Тогда $\frac{x_A-y_A}{x_B-y_B}=2$(2 балла). Находим $\tan \varphi =\frac{y_A}{x_A}=\frac{2\cdot 2 -1}{2\cdot 3 -1}=0.6$ (2 балла). Ответ: $\tan \varphi=0.6$