Мечта Аристарха
Аристарх Ксенофонтович планирует купить автомобиль. Для этого он открыл счёт и положил сумму $S_0$ рублей на срочный вклад «Волнительный» в коммерческий банк «Бездна». Проценты по этому вкладу, полученные за первый год, прибавляются к первоначальной сумме вклада, и в следующем году проценты начисляются на эту новую сумму. Ставка процента по вкладу «Волнительный» была установлена i% годовых на любой срок. Условия вклада таковы, что ежегодно в конце года со счёта можно снимать любую сумму денег. Аристарху Ксенофонтовичу необходимо накопить на покупку автомобиля сумму в Z раз превышающую начальную сумму вклада. Какую сумму D рублей Аристарх Ксенофонтович может снимать ежегодно со своего вклада, чтобы через N лет он мог купить автомобиль?(Аристарх Ксенофонтович ожидает, что цена на автомобиль не изменится)?
Решение
$S_N \ge S_0 \cdot Z$ В конце 1 года на вкладе будет сумма $S_1 = S_0 \cdot (1+\frac{i}{100})-D$ В конце 2 года на вкладе будет сумма $S_2 = S_1 \cdot (1+\frac{i}{100})-D=(S_0 \cdot (1+\frac{i}{100})-D) \cdot (1+\frac{i}{100})-D=S_0 \cdot (1+\frac{i}{100})^2-D(1+(1+\frac{i}{100}))$ В конце 3 года на вкладе будет сумма $S_3 = S_2 \cdot (1+\frac{i}{100})-D=S_0 \cdot (1+\frac{i}{100})^3-D(1+(1+\frac{i}{100})+(1+\frac{i}{100})^2)$ $S_N = S_0 \cdot (1+\frac{i}{100})^N-D(1+(1+\frac{i}{100})+(1+\frac{i}{100})^2+ \dots + (1+\frac{i}{100})^{N-1})$ Пусть $1+\frac{i}{100}=y$ и по формуле суммы геометрической прогрессии получим выражение: $1+(1+\frac{i}{100})+(1+\frac{i}{100})^2+ \dots + (1+\frac{i}{100})^{N-1})=1+y+y^2+ \dots +y^{N-1}=\frac{1-y^N}{1-y}$ $S_N=S_0\cdot y^N-D\cdot \frac{1-y^N}{1-y}$ $S_0\cdot y^N-D\cdot \frac{1-y^N}{1-y} \ge S_0Z$ $D \le (S_0y^N-S_0Z)\cdot \frac{1-y}{1-y^N}$ $D \le S_0(y^N-Z)\cdot \frac{1-y}{1-y^N}$ $D \le S_0((1+\frac{i}{100})^N-Z)\cdot \frac{1-(1+\frac{i}{100})}{1-(1+\frac{i}{100})^N}$