Труд в Альфа
В стране Альфа производится всего два товара: $x$ и $y$. Для их производства используется единственный ресурс — труд, причём общее количество труда, доступного в Альфе составляет $L=40$. Выпуск первого товара следующим образом зависит от количества используемого для его производства труда: $x=L_x$. Выпуск второго товара следующим образом зависит от количества используемого для его производства труда: $$ y =\begin{cases} 3L_y, & L_y \lt 20 \\ 40+L_y, & L_y \geq 20 \end{cases} $$ Постройте КПВ страны Альфа. Укажите на своём рисунке координаты всех ключевых точек. Жители страны Альфа сами не любят товары, которые они производят. Всю произведённую продукцию они продают на мировом рынке, а на вырученные деньги приобретают импортные товары, которые им нравятся. Известно, что товар $x$ на мировом рынке стоит 2 евро за единицу, а товар $y$ всего 1 евро. Определите максимальную выручку, которую могут получить жители страны Альфа в результате экспорта своих товаров. Пусть теперь, наоборот, товар y на мировом рынке стоит 2 евро за единицу, а товар $x$ всего 1 евро. Определите максимальную выручку, которую могут получить жители страны Альфа в результате экспорта своих товаров.
Решение
a). Производственная функция для второго товара состоит из двух участков, поэтому при построении КПВ удобно рассмотреть два случая: Случай 1. $L_y \lt 20$.Этот случай соответствует ситуации: $L_x \gt 20 \Rightarrow x \gt 20$. $$ \begin{array}{c} L_x+L_y=40 \\ x+\dfrac{1}{3}y=40 \\ y=120-3x \end{array} $$ Случай 2. $L_y \geq 20$. Этот случай соответствует ситуации: $L_x \leq 20 \Rightarrow x \leq 20$. $$ \begin{array}{c} L_x+L_y=40 \\ x+(y-40)=40 \\ y=80-x \end{array} $$ Таким образом, КПВ задаётся уравнением: $$ y=\begin{cases} y=80-x, & x \leq 20 \\ 120-3x, & x \gt 20 \end{cases} \qquad (*) $$ Теперь можно построить график: За правильный пункт - 4 балла . b). В соответствии с КПВ (см. уравнение $(*)$) альтернативные издержки производства каждой из первых 20 единиц товара $x$ равны одной единице товара $y$, то есть 1 евро. В то же время выручка от продажи каждой единицы товара $x$ равна 2 евро. Следовательно, первые 20 единиц товара $x$ производить выгодно. Далее альтернативные издержки производства каждой дополнительной единицы товара $x$ возрастают до 3 единиц товара $y$, то есть до 3 евро. Следовательно, дальнейшее производство товара $x$ не является выгодным. Таким образом, в этом случае следует производить 20 единиц товара $x$, а все остальные ресурсы направлять на производство товара $y$, что позволит произвести 60 единиц этого товара. В этом случае выручка составит: $20\cdot2+60\cdot1=100$ евро. За правильный пункт - 4 балла . c). В соответствии с КПВ альтернативные издержки одной единицы товара $x$ составляют не менее одной единицы товара $y$, то есть не менее 2 евро. В то же время выручка от продажи одной единицы товара $x$ составляет всего 1 евро. Таким образом, товар $x$ производить невыгодно, и все ресурсы следует направить на производство товара $y$. Это позволит произвести 80 единиц товара $y$, и выручка составит $80\cdot2=160$ евро. За правильный пункт - 4 балла . Ответ: a). См. график b). 100 евро c). 160 евро Примечание: Для пунктов (b) и (c) также возможно графическое решение, которое также следует засчитывать. В пункте (b) точка оптимума оказывается на изломе КПВ, а в пункте (c) — в левом верхнем углу.