Функция издержек Монополии – $TC=Q^2$
Функция издержек Монополии – $TC=Q^2$. Монополия торгует в двух не связанных друг с другом странах: А и Б. Спрос на продукцию Монополии в стране А имеет вид $Q=120-P$, а в стране Б – $Q=180-2P$. Монополия может назначать в странах разные цены, достигая единственной цели: максимизации своей прибыли.
Подпункты
а)
Определите, какие цены Монополия установит в каждой стране.
б)
Государство страны А недовольно дискриминацией стран и решает исправить это. К сожалению, она никак не может повлиять на Монополию, зато может ввести потоварный налог или же потоварную субсидию на товар, продаваемый в стране А, для того чтобы цена в этой стране сравнялась с ценой в стране Б. Какой размер налога/субсидии следует установить правительству страны А?
в)
Страны А и Б решили объединиться и объединить свои рынки: старый налог отменен, но теперь Монополия не может назначать им разные цены. Но стране А опять что-то не нравится! А именно то, что в стране А и Б потребляют разное количество продукции монополии. Договорившись, правительство Объединенной страны решило ввести потоварную субсидию или потоварный налог для того, чтобы объемы потребления каждой страны в составе объединенной страны оказались равны. Какой размер налога/субсидии следует установить
Объединенному правительству?
Объединенному правительству?
Решение
Найдем суммарный $MR$ Монополии (В стране А $MR_a=120-2Q_a$, в стране Б $MR_b=90-Q_b$):
$$MR=\left\{
\begin{array}{lcr}
120-2Q & Q<15
100-\frac{2}{3}Q & Q\geq 15
\end{array}
\right.$$
Также найдем $MC=TC'=2Q$. Так как $MC$ возрастает, а $MR$ убывает, оптимум в их пересечении:
$$100-\frac{2}{3}Q=2Q$$
$$Q=37,5$$
Тогда $MR=100-\frac{2}{3}Q=75$, тогда:
$$Q_a=60-\frac{MR}{2}=22,5$$
$$P_a=120-Q_a=97,5$$
$$Q_b=90-MR=15$$
$$P_b=90-\frac{Q_b}{2}=82,5$$
Так как цена в стране А оказалась выше, они введут субсидию, чтобы снизить цену. Обозначим размер субсидии за $s$ и снова проделаем все как в предыдущем пункте:
$$MR_a=120-2Q_a+s$$
$$MR=\left\{
\begin{array}{lcr}
120-2Q+s & Q<15+\frac{s}{2}
100-\frac{2}{3}Q+\frac{s}{3} & Q\geq 15+\frac{s}{2}
\end{array}
\right.$$
$$MR=MC$$
$$100-\frac{2}{3}Q +\frac{s}{3}=2Q$$
$$Q=37,5+\frac{s}{8}$$
$$MR=100-\frac{2}{3}Q+\frac{s}{3}=75+\frac{s}{4}$$
$$Q_a=60-\frac{MR}{2}+\frac{s}{2}=22,5+\frac{3s}{8}$$
$$P_a=120-Q_a=97,5-\frac{3s}{8}$$
$$Q_b=90-MR=15-\frac{s}{4}$$
$$P_b=90-\frac{Q_b}{2}=82,5+\frac{s}{8}$$
Найдем, при каком значении $s$ две цены сравняются:
$$82,5+\frac{s}{8}=97,5-\frac{3s}{8}$$
$$\frac{s}{2}=15$$
$$s=30$$
Теперь складываем спросы (сразу отметим, что обе страны в итоге будут продавать свой товар, то есть нули проверять не надо):
$$Q=300-3P$$
Пусть страна а введет потоварный налог $t$ ($t<0$ в случае, если будет введена субсидия).
Тогда находим $MR$ вместе с налогом:
$$MR=100-\frac{2Q}{3}-t$$
$$MR=MC$$
$$100-\frac{2Q}{3}-t=2Q$$
$$Q=37,5-\frac{3t}{8}$$
$$P=100-\frac{Q}{3}=87,5+\frac{t}{8}$$
$$Q_a=120-P=32,5-\frac{t}{8}$$
$$Q_b=180-2P=5-\frac{2t}{8}$$
Найдем, при каком $t$ количества равны:
$$32,5-\frac{t}{8}=5-\frac{2t}{8}$$
$$-\frac{t}{8}=27,5$$
$$t=-220$$
Итого, странам нужно ввести потоварную субсидию в размере 220.
$$MR=\left\{
\begin{array}{lcr}
120-2Q & Q<15
100-\frac{2}{3}Q & Q\geq 15
\end{array}
\right.$$
Также найдем $MC=TC'=2Q$. Так как $MC$ возрастает, а $MR$ убывает, оптимум в их пересечении:
$$100-\frac{2}{3}Q=2Q$$
$$Q=37,5$$
Тогда $MR=100-\frac{2}{3}Q=75$, тогда:
$$Q_a=60-\frac{MR}{2}=22,5$$
$$P_a=120-Q_a=97,5$$
$$Q_b=90-MR=15$$
$$P_b=90-\frac{Q_b}{2}=82,5$$
Так как цена в стране А оказалась выше, они введут субсидию, чтобы снизить цену. Обозначим размер субсидии за $s$ и снова проделаем все как в предыдущем пункте:
$$MR_a=120-2Q_a+s$$
$$MR=\left\{
\begin{array}{lcr}
120-2Q+s & Q<15+\frac{s}{2}
100-\frac{2}{3}Q+\frac{s}{3} & Q\geq 15+\frac{s}{2}
\end{array}
\right.$$
$$MR=MC$$
$$100-\frac{2}{3}Q +\frac{s}{3}=2Q$$
$$Q=37,5+\frac{s}{8}$$
$$MR=100-\frac{2}{3}Q+\frac{s}{3}=75+\frac{s}{4}$$
$$Q_a=60-\frac{MR}{2}+\frac{s}{2}=22,5+\frac{3s}{8}$$
$$P_a=120-Q_a=97,5-\frac{3s}{8}$$
$$Q_b=90-MR=15-\frac{s}{4}$$
$$P_b=90-\frac{Q_b}{2}=82,5+\frac{s}{8}$$
Найдем, при каком значении $s$ две цены сравняются:
$$82,5+\frac{s}{8}=97,5-\frac{3s}{8}$$
$$\frac{s}{2}=15$$
$$s=30$$
Теперь складываем спросы (сразу отметим, что обе страны в итоге будут продавать свой товар, то есть нули проверять не надо):
$$Q=300-3P$$
Пусть страна а введет потоварный налог $t$ ($t<0$ в случае, если будет введена субсидия).
Тогда находим $MR$ вместе с налогом:
$$MR=100-\frac{2Q}{3}-t$$
$$MR=MC$$
$$100-\frac{2Q}{3}-t=2Q$$
$$Q=37,5-\frac{3t}{8}$$
$$P=100-\frac{Q}{3}=87,5+\frac{t}{8}$$
$$Q_a=120-P=32,5-\frac{t}{8}$$
$$Q_b=180-2P=5-\frac{2t}{8}$$
Найдем, при каком $t$ количества равны:
$$32,5-\frac{t}{8}=5-\frac{2t}{8}$$
$$-\frac{t}{8}=27,5$$
$$t=-220$$
Итого, странам нужно ввести потоварную субсидию в размере 220.