Типичные пингвины
На рынке плюшевых пингвинов «Тоша» действует фирма «ВОШ», а фирма «МОШ» готовится войти на рынок и стать ее конкурентом. Взаимодействие на рынке происходит так: сначала «ВОШ» выбирает объем выпуска $q_1>0$ тыс. шт. и объявляет его, а затем «МОШ», узнав объем выпуска конкурента, решает, входить на рынок или нет. Если она входит, то производит $q_2>0$ тыс. шт., а если не входит, то $q_2=0$. Чтобы попасть в перечень фирм, имеющих право производить плюшевых пингвинов, «МОШ» должна получить лицензию правительства («ВОШ» в лицензии не нуждается). Правительство выдает лицензии бесплатно, но только тем фирмам, у которых хорошо организовано производство, так что фирме «МОШ» придется потратить 100 тыс. рублей на начальные инвестиции, чтобы начать работать. «МОШ» решит войти на рынок, только если разница между доходами и расходами на производство пингвинов будет превосходить эти затраты. Цена одного плюшевого пингвина формируется исходя из объема предложения обеих фирм и равна $P=(110-q_1-q_2)$ руб. Производство типичного пингвина обходится любой из фирм в 10 руб., фирмы при принятии решений учитывают их последствия и стараются получить как можно б о льшую прибыль (разницу между доходами и расходами). Сколько плюшевых пингвинов произведет фирма «ВОШ»?
Решение
Поскольку фирма «ВОШ» первой принимает решение, она может предсказать поведение фирмы «МОШ». Выбирая $q_2$, фирма «МОШ» максимизирует функцию $$ \pi_2=\begin{cases} (110-q_1-q_2)q_2-10q_2-100, & \text{если } q_2 > 0, \\ 0, & \text{если } q_2=0. \end{cases} $$ Если фирма решит выбрать положительное $q_2$, то ее прибыль — парабола с ветвями вниз относительно $q_2$ и вершиной в точке $q_2^\star=50-q_1/2$. Максимальная ее прибыль в этом случае составит (в тысячах рублей) $$ \pi_2^\star=(100-q_1-(50-q_1/2))(50-q_1/2)-100=(50-q_1/2)^2-100. $$ Заметим, что эта прибыль положительна при $q_1< 80$, то есть при $q_1\ge 80$ фирма «МОШ» не войдет на рынок. Таким образом, оптимальный выбор второй фирмы задается такой зависимостью: $$ q_2=\begin{cases} 50-q_1/2, & \text{если } q_1 <80, \\ 0, & \text{если } q_1\ge 80. \end{cases} $$ Зная реакцию фирмы «МОШ», фирма «ВОШ» может принять одно из двух решений: 1) Производить меньше 80 единиц продукции и допустить вход на рынок фирмы «МОШ». Тогда ее прибыль составит $$ \pi_1=(100-q_1-(50-q_1/2))q_1=(50-q_1/2)q_1. $$ Это парабола с ветвями вниз и вершиной в точке $q_1^\star=50$. Прибыль фирмы равна $\pi_1^\star=1250$. 2) Произвести $q_2\ge 80$ и остаться единственной фирмой на рынке. В этом случае ее прибыль составит $$ \pi_1=(100-q_1)q_1. $$ Это парабола с ветвями вниз с вершиной в точке $q_1=50$, однако эта точка фирме недоступна (при $q_1=50$ вторая фирма войдет на рынок), а самая лучшая из доступных точек $q_1^\star=80$. В этом случае прибыль равна $\pi_1^\star=1600$, что больше, чем прибыль в варианте 1). Ответ: 80 тыс.