Производитель товара $C$ продает его трем различным фирмам (каждая из которых мо
Производитель товара $C$ продает его трем различным фирмам (каждая из которых монополист) для дальнейшей перепродажи на рынках, спрос на которых описывается функциями $P_i=6-i\cdot Q_i, i\in\{1,2,3\}$. $C$ продает товар в комплектах ($q$; $T$) , где $q$ — количество товара в комплекте, а $T$ — плата за комплект (она предлагает список комплектов, затем каждая фирма выбирает лучший для себя комплект и покупает его). $C$ не несет никаких издержек на производство товара. Государство вводит налог $t$ за каждую произведенную единицу товара фирмой $C$, максимизирующий налоговые сборы. Найдите ставку налога, комплекты, которые предлагает фирма и прибыль фирмы.
Подсказка: IC ограничений много, но подумайте: а какие из них скорее всего самые важные?
Подсказка: IC ограничений много, но подумайте: а какие из них скорее всего самые важные?
Решение
Решим ослабленную версию задачи, а потом проверим, остальные ограничения. Выберем самые логичные 2 IC из 6 возможных(остальные будут выполнены как их следствие при логичном условии $q_3\leq q_2\leq q_1$):
$(6-q_1)q_1-T_1\geq (6-q_2)q_2-T_2$
$(6-2q_2)q_2-T_2\geq (6-2q_3)q_3-T_3$
Если они выполнены и выполнено IR третьей фирмы $(6-3q_3)q_3-T_3\geq 0$, то оба остальных IR выполняются. Итого у нас 3 ограничивающих нас неравенства вместо потенциальных девяти.
Тогда из простой алгебры наибольшие возможные $T_3=(6-3q_3)q_3, T_2=(6-2q_2)q_2-q_3^2, T_1=(6-q_1)q_1-q_2^2-q_3^2$. Подставив их в прибыль мы получим:
$(6-3q_3)q_3-2q_3^2-tq_3+(6-2q_2)q_2-q_2^2-tq_2+(6-q_1)q_1-tq_1$
Отсюда $q_3=\frac{6-t}{10}, q_2=\frac{6-t}{6},q_1=\frac{6-t}{2}$, и тогда все вышесказанное выполнено, оптимальное $t=3$, так как $Q\sim 6-t$, $q_1=1.5,q_2=0.5,q_3=0.3$
$(6-q_1)q_1-T_1\geq (6-q_2)q_2-T_2$
$(6-2q_2)q_2-T_2\geq (6-2q_3)q_3-T_3$
Если они выполнены и выполнено IR третьей фирмы $(6-3q_3)q_3-T_3\geq 0$, то оба остальных IR выполняются. Итого у нас 3 ограничивающих нас неравенства вместо потенциальных девяти.
Тогда из простой алгебры наибольшие возможные $T_3=(6-3q_3)q_3, T_2=(6-2q_2)q_2-q_3^2, T_1=(6-q_1)q_1-q_2^2-q_3^2$. Подставив их в прибыль мы получим:
$(6-3q_3)q_3-2q_3^2-tq_3+(6-2q_2)q_2-q_2^2-tq_2+(6-q_1)q_1-tq_1$
Отсюда $q_3=\frac{6-t}{10}, q_2=\frac{6-t}{6},q_1=\frac{6-t}{2}$, и тогда все вышесказанное выполнено, оптимальное $t=3$, так как $Q\sim 6-t$, $q_1=1.5,q_2=0.5,q_3=0.3$