Пусть в отрасли действуют две фирмы, спрос на их продукцию $D(p) = 1 - P$
Пусть в отрасли действуют две фирмы, спрос на их продукцию $D(p) = 1 - P$. Взаимодействие происходит в два этапа. На первом этапе фирмы одновременно выбирают максимальный объем производства $m_i, i = 1, 2$; единица производственных мощностей стоит $c_0 \in \left[\frac{3}{4}, 1 \right]$, таким образом, издержки на первом этапе равны $m_i c_0$. После первого периода каждая фирма наблюдает объем производственных мощностей, выбранный конкурентом. На втором этапе фирмы одновременно назначают цены, и покупатели выбирают фирму, назначившую меньшую цену (и делятся поровну при равенстве цен). Если спрос на продукцию более дешевой фирмы превышает предложение, то осуществляется эффективное рационирование: более заинтересованные покупатели сначала покупают более дешевую продукцию; те же, кому она не достается, вынуждены покупать более дорогую. Предположим для простоты, что предельные издержки равны 0. Мы будем искать совершенное по подыграм равновесие Нэша в этой двухпериодной игре.
Подпункты
а)
Покажите, что в любом равновесии на первом этапе фирмы выберут производственные мощности, не превышающие $\frac{1}{3}.$
б)
Учитывая, что в равновесии $m_i \leq \frac{1}{3}$, в соответствии с предыдущим пунктом, покажите, что на втором этапе в равновесии фирмы выберут цены $p_i = 1 - (m_1 + m_2).$
в)
Найдите равновесие во всей игре (осталось найти равновесный выбор $m_1$ и $m_2.$
Решение
Нельзя получить выручку $>0.25$, поэтому $0.25-m_ic_0\geq 0\Rightarrow m_i\leq \frac{1}{3}$
$p_1=p_2=0$ не равновесие так как кому-то выгодно повысить цену
Если $p_1=p_2=p>0$, но $1-p<m_1+m_2$, кому-то выгодно понизить цену
Если $p_1=p_2=p$, но $1-p>m_1+m_2$, обоим можно повысить цену
Если $p_1>p_2$, то $1-p_2\leq m_2$, иначе можно повысить $p_2$, но тогда $q_1=0$ и выгодно понизить $p_1$ до $p_2$, которое не 0, так как $1-p_2\leq m_2\leq \frac{1}{3}$
Теперь проверим, что в $p_1=p_2=1-m_1-m_2>0$ никому не выгодно отклоняться.
Ставить цену ниже нет смысла: каждый продает своё $m_i$
Ставить цену выше: тогда $\pi_i=(1-p_i-m_j)p_i$, но оптимум в $p_2=0.5(1-m_j)\leq1-m_i-m_j$ — ниже цены конкурента, так как $m_i,m_j\leq \frac{1}{3}$, а значит отклоняться нет смысла.
Стандартное курно, получим $m_1=\frac{1-c_0}{3}, m_2=\frac{1-c_0}{3}$
$p_1=p_2=0$ не равновесие так как кому-то выгодно повысить цену
Если $p_1=p_2=p>0$, но $1-p<m_1+m_2$, кому-то выгодно понизить цену
Если $p_1=p_2=p$, но $1-p>m_1+m_2$, обоим можно повысить цену
Если $p_1>p_2$, то $1-p_2\leq m_2$, иначе можно повысить $p_2$, но тогда $q_1=0$ и выгодно понизить $p_1$ до $p_2$, которое не 0, так как $1-p_2\leq m_2\leq \frac{1}{3}$
Теперь проверим, что в $p_1=p_2=1-m_1-m_2>0$ никому не выгодно отклоняться.
Ставить цену ниже нет смысла: каждый продает своё $m_i$
Ставить цену выше: тогда $\pi_i=(1-p_i-m_j)p_i$, но оптимум в $p_2=0.5(1-m_j)\leq1-m_i-m_j$ — ниже цены конкурента, так как $m_i,m_j\leq \frac{1}{3}$, а значит отклоняться нет смысла.
Стандартное курно, получим $m_1=\frac{1-c_0}{3}, m_2=\frac{1-c_0}{3}$