На рынке есть две фирмы, которые взаимодействуют на протяжении двух периодов
На рынке есть две фирмы, которые взаимодействуют на протяжении двух периодов. В первом периоде на рынке есть только фирма 1 и спрос на рынке описывается функцией $q = 1-p$. У фирмы есть постоянные предельные издержки, которые могут быть равны 0 с вероятностью $x$ или $\frac{1}{2}$ с вероятностью $1 - x$. Фирма 1 в периоде 1 узнаёт свой "тип" и своей ценой посылает сигнал фирме 2. Фирма 2 несёт постоянные издержки на вход $e$ и нулевые предельные издержки на производство. Если фирма 2 не входит на рынок, то фирма 1 является монополистом в периоде 2. Если фирма 2 войдёт на рынок, то она сразу узнаёт тип фирмы 1 и в периоде 2 фирмы конкурируют как фирмы, производящие несовершенные заменители, то есть спрос для каждой из них станет:
$$q_i=1-p_i+\frac{1}{2}p_j$$
Фирмы не дисконтируют будущий период, то есть $\delta =1$.
Выпишите монополистическую прибыль фирмы 1 при каждом из уровней издержек. Посчитайте дуополистическую прибыль каждой из фирм при каждом из уровней издержек фирмы 1. При каких уровнях постоянных издержек на вход $e$ задача сигнализирования имеет смысл?
$$q_i=1-p_i+\frac{1}{2}p_j$$
Фирмы не дисконтируют будущий период, то есть $\delta =1$.
Выпишите монополистическую прибыль фирмы 1 при каждом из уровней издержек. Посчитайте дуополистическую прибыль каждой из фирм при каждом из уровней издержек фирмы 1. При каких уровнях постоянных издержек на вход $e$ задача сигнализирования имеет смысл?
Решение
Монополистические прибыли:
$$M_1^L=\frac{1}{4},M_1^H=\frac{1}{16}$$
Посчитаем прибыли в дуополии, когда фирма 1 низкого типа (максимизируем по $p_j$:
$$\pi_i=p_i(1-p_i+\frac{1}{2}p_j)$$
Условия первого порядка:
$$1-p_i+\frac{1}{2}p_j=0, p_i=p_j=\frac{2}{3}, D_1^L=D_2^L=\frac{4}{9}$$
Прибыли в дуополии при высоком типе:
$$\pi_1=(p_1-\frac{1}{2})(1-p_1+\frac{1}{2}p_2)$$
Ан. для $\pi_2$
Итого:
$$p_1=\frac{14}{15},p_2=\frac{11}{15}$$
Задача имеет смысл, если
$$e \in(\frac{4}{9};\frac{121}{225}$$
$$M_1^L=\frac{1}{4},M_1^H=\frac{1}{16}$$
Посчитаем прибыли в дуополии, когда фирма 1 низкого типа (максимизируем по $p_j$:
$$\pi_i=p_i(1-p_i+\frac{1}{2}p_j)$$
Условия первого порядка:
$$1-p_i+\frac{1}{2}p_j=0, p_i=p_j=\frac{2}{3}, D_1^L=D_2^L=\frac{4}{9}$$
Прибыли в дуополии при высоком типе:
$$\pi_1=(p_1-\frac{1}{2})(1-p_1+\frac{1}{2}p_2)$$
Ан. для $\pi_2$
Итого:
$$p_1=\frac{14}{15},p_2=\frac{11}{15}$$
Задача имеет смысл, если
$$e \in(\frac{4}{9};\frac{121}{225}$$
Похожие задачи
Известно, что на рынке присутствуют две фирмы
В отрасли существует всего 2 фирмы, причем предельные издержки каждой составляют
В отрасли действуют две фирмы с постоянными предельными издержками $c_1$ = 1 и $
Спрос на рынке имеет вид $Q_d=120-P$
Пусть в отрасли действуют две фирмы, спрос на их продукцию $D(p) = 1 - P$