В летней школе надо проводить утренние зарядки
В летней школе надо проводить утренние зарядки. Проблема в том, что двое преподов совершенно не хотят вставать, и их надо стимулировать бесконечно делимыми сырками. Если $P$ это количество выданных сырков за одну зарядку, то спрос школы на зарядки(максимальное количество зарядок, которое при таких требованиях готов позволить себе продовольственный бюджет школы) равен $Q=a-P$. Преподаватели хоть и ленивые, но очень умные, поэтому легко посчитали свои предельные издержки на проведение зарядок в съеденных сырках, равные $c_1,c_2$ за зарядку соответственно. Они максимизируют свою личную выгоду в сырках, оставшихся после проведения зарядок.
Подпункты
а)
Если сначала количество проведенных зарядок выбирает первый преподаватель, а за ним второй, то сколько сырков останется у каждого преподавателя?
б)
На следующий год эти же преподаватели приехали на ту же смену, и не поменялся ни продовольственный бюджет, ни их личные издержки и предпочтения, однако теперь по справедливости сначала количество зарядок выбирает второй преподаватель. Сколько сырков останется у каждого преподавателя?
в)
Докажите, что если в обоих ситуациях каждый преподаватель проводит строго положительное количество зарядок, то преподавателю всегда хуже, если он выбирает вторым, а не первым Графики в координатах $c_1,c_2$ при фиксированном $a$ помогут
Решение
$\Pi_1=\frac{(a+c_2-2c_1)^2}{8},\Pi_2=\frac{(a+2c_1-3c_2)^2}{16}$
$\Pi_2=\frac{(a+c_1-2c_2)^2}{8},\Pi_1=\frac{(a+2c_2-3c_1)^2}{16}$
Без ограничения общности мы получим следующее:
Чтобы фирма выиграла, должно быть верно, что $a<\sqrt{2}c_2-(\sqrt{2}-1)c_1$. Выпишем условия про строго положительное производство: $a>c_2, a>c_1$(из здравого смысла и промежуточных вычислений), $a>2c_2-c_1, a>3c_2-2c_1$(из точных формул для выпусков). Эти 5 неравенств вместе не имеют решений, потому что из первого и второго неравенства следует, что $c_1<c_2$, но тогда из последнего неравенства $a>c_2+2(c_2-c_1)$, а первое выглядит как $a<c_2+(\sqrt{2}-1)(c_2-c_1)$, что вместе невозможно, так как мы уже показали, что $c_2-c_1>0$
$\Pi_2=\frac{(a+c_1-2c_2)^2}{8},\Pi_1=\frac{(a+2c_2-3c_1)^2}{16}$
Без ограничения общности мы получим следующее:
Чтобы фирма выиграла, должно быть верно, что $a<\sqrt{2}c_2-(\sqrt{2}-1)c_1$. Выпишем условия про строго положительное производство: $a>c_2, a>c_1$(из здравого смысла и промежуточных вычислений), $a>2c_2-c_1, a>3c_2-2c_1$(из точных формул для выпусков). Эти 5 неравенств вместе не имеют решений, потому что из первого и второго неравенства следует, что $c_1<c_2$, но тогда из последнего неравенства $a>c_2+2(c_2-c_1)$, а первое выглядит как $a<c_2+(\sqrt{2}-1)(c_2-c_1)$, что вместе невозможно, так как мы уже показали, что $c_2-c_1>0$