Дележ апельсина с жребием
Гена и Чебурашка делят необычный апельсин. Апельсин представляет собой прямоугольник 100 см × 10 см и может быть разрезан на две части только вдоль короткой стороны так, чтобы длина каждой из частей составляла целое число сантиметров. Одна половина апельсина (50 см × 10 см) состоит из мякоти, а другая — из косточек, при этом Чебурашка больше любит мякоть, а Гена — косточки. Каждый из зверей из двух кусков всегда предпочитает тот, в котором больше его любимого ингредиента, а если любимого ингредиента в кусках поровну, то тот, который больше по площади.
Механизм дележа устроен следующим образом. Чебурашка подбрасывает монетку, по результатам этого определяется очерёдность дальнейших ходов. Тот, кто выиграл жребий, разрезает апельсин любым возможным способом на две части, после чего второй выбирает себе часть, а вторая часть остаётся разрезавшему. На сколько процентов площадь куска, доставшегося Чебурашке, при благоприятном для него исходе жребия будет больше, чем при неблагоприятном? При необходимости округлите ответ до целого числа процентов.
Механизм дележа устроен следующим образом. Чебурашка подбрасывает монетку, по результатам этого определяется очерёдность дальнейших ходов. Тот, кто выиграл жребий, разрезает апельсин любым возможным способом на две части, после чего второй выбирает себе часть, а вторая часть остаётся разрезавшему. На сколько процентов площадь куска, доставшегося Чебурашке, при благоприятном для него исходе жребия будет больше, чем при неблагоприятном? При необходимости округлите ответ до целого числа процентов.
Решение
Пусть кто-то каким-то образом разрезал апельсин. Тогда второй участник дележа будет поступать следующим образом. Если среди двух частей есть часть, в которой больше его любимого ингридиента, то он выберет именно эту часть. Если обе части содержат одинаковое количество его любимого ингридиента, то он выберет большую по площади часть. Это означает, что тот, кто выбирает одну из двух частей, может гарантировать себе как минимум половину от общей массы своего любимого ингридиента при любом разрезе. Значит, тот, кто производит разрез, в лучшем случае может претендовать на 100% любимого ингридиента плюс чуть меньше половины менее любимого ингридиента. Чтобы обеспечить себе максимально хороший результат, он должен разрезать апельсин на два куска: 74 см × 10 см и 26 см × 10 см, где кусок 26 см × 10 см целиком состоит из нелюбимого ингридиента. Тогда разрезавший апельсин получит кусок площадью 740 см$^2$ (причем он получит всю часть со своим любимым ингридиентом), а выбирающий одну из двух частей получит кусок апельсина площадью 260 см$^2$. Поэтому при удачном жребии площадь доставшегося апельсин будет на $\frac{740-260}{260}\cdot100\%\approx185\%$
больше, чем при неудачном.
Ответ: 185%
больше, чем при неудачном.
Ответ: 185%