Совет безопасности ООН
В Совет Безопасности ООН входит 15 стран. Пять из них (Китай, Великобритания, Франция, Россия, США) являются постоянными членами. Остальные имеют временные полномочия. Для принятия решения необходимо, чтобы его поддержали больше половины стран. Кроме того, постоянные члены имеют право вето.
Найдите вектор власти стран в Совете Безопасности ООН.
Найдите вектор власти стран в Совете Безопасности ООН.
Решение
Введём вес голосов, чтобы было удобнее считать. Пусть постоянные члены СБ ООН имеют вес голоса 100, а временные — 1. Тогда для принятия решения необходимо набрать 503 голоса ($V = 503$).
Замечание. Все постоянные члены имеют равный вес в векторе власти (как и все временные).
Пусть тогда вес постоянных членов равен $a$, а временных $b$. Отсюда получаем,
$$5a + 10b = 1 \; (*)$$
Найдём $b$ по формуле вектора Шепли. Когда добавление страны-временного члена СБ может повлиять на решение? Только в тот момент, когда до этого в коалиции уже есть 5 постоянных членов и 2 временных. То есть это все такие перестановки /7 стран/ - /страна $b$/ - /7 стран/, где в первой семёрке ровно 5 постоянных членов СБ.
В этот момент принимаемое решение меняется с 0 на 1 (то есть $v(S \cup \{b\}) - v(S) = 1$).
Выбрать какие 2 непостоянных члена войдут в первую семёрку можно $C_9^2$ способами. В каком порядке будет стоять эта семёрка — 7! способов. В каком порядке будут стоять оставшиеся 7 непостоянных членов — тоже 7! Получаем,
$$b = \dfrac{C_9^2 \cdot 7! \cdot 7!}{15!}\cdot 1 = \dfrac{9!}{2!\cdot 7!}\cdot \dfrac{7! \cdot 7!}{15!} =\dfrac{9! \cdot 7!}{2! \cdot 15!} = \dfrac{1}{1430}$$
Тогда из $(*)$ получаем: $a = \dfrac{284}{1430}$
Вектор власти: $$\left(\dfrac{284}{1430}, \dfrac{284}{1430}, \dfrac{284}{1430}, \dfrac{284}{1430}, \dfrac{284}{1430}, \dfrac{1}{1430}, ..., \dfrac{1}{1430}\right)$$
Замечание. Все постоянные члены имеют равный вес в векторе власти (как и все временные).
Пусть тогда вес постоянных членов равен $a$, а временных $b$. Отсюда получаем,
$$5a + 10b = 1 \; (*)$$
Найдём $b$ по формуле вектора Шепли. Когда добавление страны-временного члена СБ может повлиять на решение? Только в тот момент, когда до этого в коалиции уже есть 5 постоянных членов и 2 временных. То есть это все такие перестановки /7 стран/ - /страна $b$/ - /7 стран/, где в первой семёрке ровно 5 постоянных членов СБ.
В этот момент принимаемое решение меняется с 0 на 1 (то есть $v(S \cup \{b\}) - v(S) = 1$).
Выбрать какие 2 непостоянных члена войдут в первую семёрку можно $C_9^2$ способами. В каком порядке будет стоять эта семёрка — 7! способов. В каком порядке будут стоять оставшиеся 7 непостоянных членов — тоже 7! Получаем,
$$b = \dfrac{C_9^2 \cdot 7! \cdot 7!}{15!}\cdot 1 = \dfrac{9!}{2!\cdot 7!}\cdot \dfrac{7! \cdot 7!}{15!} =\dfrac{9! \cdot 7!}{2! \cdot 15!} = \dfrac{1}{1430}$$
Тогда из $(*)$ получаем: $a = \dfrac{284}{1430}$
Вектор власти: $$\left(\dfrac{284}{1430}, \dfrac{284}{1430}, \dfrac{284}{1430}, \dfrac{284}{1430}, \dfrac{284}{1430}, \dfrac{1}{1430}, ..., \dfrac{1}{1430}\right)$$