В стране ШЭВ живет Чулс, который зарабатывает продажей двух товаров: Ски $(X)$ и
В стране ШЭВ живет Чулс, который зарабатывает продажей двух товаров: Ски $(X)$ и Керги $(Y)$. У Чулса имеется две альтернативы: производить Ски и Игрек в комплектах по 1 единице каждого, тогда он производит по одному комплекту в минуту(на производство у Чулса есть 80 минут) или же производить задачи отдельно, тогда его КПВ за это же время будет иметь вид $0,5 x_2+0,8 y_2=80$. При этом он не несет никаких издержек от производства Ски и Керги. Чулс является монополистом на рынке обоих товаров: $P_x=166-x$; $P_y=170-y$.
Подпункты
а)
Постройте суммарную КПВ Чулса.
б)
Найдите максимальную прибыль Чулса.
в)
Политик №1 из государственной думы страны ШЭВ в целях пополнения бюджета предложил ввести потоварный налог 12 на рынке товара Керги.
г)
Политик №2 предложил ввести аналогичный налог на рынке товара Кси.
д)
Политик №3 предложил не спорить о таких мелочах и просто ввести налог сразу на обоих рынках! Найдите установившиеся количества на рынках в результате трех вышеперечисленных мер.
Решение
Применяем $\alpha$-метод для точки $(80,80)$ и КПВ $0,5 x_2+0,8 y_2=80$, см картинку
Уравнение: $y=\begin{cases}100-0.25x,0\leq x\leq 80
160-x, 80\leq x\leq 160\end{cases}$
Наша функция прибыли $\Pi=(166-x)x+(170-y)y=83^2+85^2-(x-83)^2-(y-85)^2$, безусловный оптимум в точке $(83,85)$ - над КПВ, продолжаем искать.
Давайте нарисуем наши изопрофиты возле точки безусловного оптимума и заметим что скорее всего оптимум в угловой точке КПВ $(80,80)$:
Докажем честно: если модуль наклона изопрофиты лежит между $0.25$ и $1$, то это верно. Пользуясь формулой через частные производные, получим что он равен $\frac{\Pi'_x}{\Pi'_y}=\frac{83-x}{85-y}=\frac{3}{5}=0.6$, а значит наша гипотеза верна и $x=y=80$
Наша функция прибыли $\Pi=(154-x)x+(170-y)y=77^2+85^2-(x-77)^2-(y-85)^2$, безусловный оптимум в точке $(77,85)$ - над КПВ, продолжаем искать.
Давайте нарисуем наши изопрофиты возле точки безусловного оптимума и заметим что скорее всего оптимум на первом участке КПВ.
Найдем его: $\Pi=(154-x)x+(170-y)y=(154-x)x+(170-100+0.25x)(100-0.25x)=17000+(154+30*0.25)x-(1+0.25^2)x^2\to max_x$: $x=76, y=81$, точно на участке
Решается аналогично для второго участка: $\Pi=(166-x)x+(158-y)y=(166-x)x+(x-2)(160-x)=-320+328x-2x^2\to max_x$: $x=82, y=78$
Наша функция прибыли $\Pi=(154-x)x+(158-y)y=77^2+79^2-(x-77)^2-(y-79)^2$, безусловный оптимум в точке $(77,79)$ - под КПВ, значит ответ $x=77,y=79$
Уравнение: $y=\begin{cases}100-0.25x,0\leq x\leq 80
160-x, 80\leq x\leq 160\end{cases}$
Наша функция прибыли $\Pi=(166-x)x+(170-y)y=83^2+85^2-(x-83)^2-(y-85)^2$, безусловный оптимум в точке $(83,85)$ - над КПВ, продолжаем искать.
Давайте нарисуем наши изопрофиты возле точки безусловного оптимума и заметим что скорее всего оптимум в угловой точке КПВ $(80,80)$:
Докажем честно: если модуль наклона изопрофиты лежит между $0.25$ и $1$, то это верно. Пользуясь формулой через частные производные, получим что он равен $\frac{\Pi'_x}{\Pi'_y}=\frac{83-x}{85-y}=\frac{3}{5}=0.6$, а значит наша гипотеза верна и $x=y=80$
Наша функция прибыли $\Pi=(154-x)x+(170-y)y=77^2+85^2-(x-77)^2-(y-85)^2$, безусловный оптимум в точке $(77,85)$ - над КПВ, продолжаем искать.
Давайте нарисуем наши изопрофиты возле точки безусловного оптимума и заметим что скорее всего оптимум на первом участке КПВ.
Найдем его: $\Pi=(154-x)x+(170-y)y=(154-x)x+(170-100+0.25x)(100-0.25x)=17000+(154+30*0.25)x-(1+0.25^2)x^2\to max_x$: $x=76, y=81$, точно на участке
Решается аналогично для второго участка: $\Pi=(166-x)x+(158-y)y=(166-x)x+(x-2)(160-x)=-320+328x-2x^2\to max_x$: $x=82, y=78$
Наша функция прибыли $\Pi=(154-x)x+(158-y)y=77^2+79^2-(x-77)^2-(y-79)^2$, безусловный оптимум в точке $(77,79)$ - под КПВ, значит ответ $x=77,y=79$