На летних каникулах профессор травологии Помона Стебль остается жить в Хогвартсе
На летних каникулах профессор травологии Помона Стебль остается жить в Хогвартсе. Каждый день она проводит все свободные от сна 20 часов времени на 2 занятия: сбор пучков растений и трав для следующего учебного года и проведение экскурсий по Хогвартсу. За каждый час проведения экскурсии Помона проводит ровно 1 экскурсию для 1 экскурсионной группы (она может проводить экскурсии хоть все 20 часов — спрос на эти экскурсии есть круглосуточно), но помимо этого во время проведения экскурсий Помона узнает, где растут нужные ей травы, поэтому если Помона проведет х часов экскурсий, то она сможет после этого собирать $4 + 2x$, но не более 30 пучков в час, так как даже зная их расположение она не может работать быстрее. Часы, пучки и экскурсии можно считать бесконечно делимыми.
Подпункты
а)
Постройте множество доступных за день Помоне комбинаций экскурсий и пучков в координатах (кол-во проведенных экскурсий; кол-во собранных пучков).
б)
Собрав необходимые травы для следующего года, Помона решила заработать. За каждую экскурсию Помона получает по 100 кнатов (д.е.) В конце дня Помона теперь распродает собранные за день пучки (они должны быть свежими, поэтому Помона не делает запасов). При этом покупатели, не знающие места происхождения трав (не бывавшие на экскурсии в этот день), готовы платить по 5 кнатов (д.е.) за пучок, а покупатели, побывавшие в этот день на экскурсии и понимающие высокое качество этих трав, готовы заплатить до 50 кнатов (д.е.) за 8 пучков для всей экскурсионной группы. Помона может продавать как пучки за 5 кнатов (д.е.) кому угодно, так и комплекты (их количество также бесконечно делимо) из 8 пучков за 50 кнатов (д.е.) для групп, побывавших на экскурсии. Определите, как распределит время дня Помона, и сколько она сможет заработать, если ее цель — максимизация дневной выручки?
Решение
До ограничения в 30 КПВ описывается функцией $(20 - x) \cdot (4 + 2x)$, ограничение достигается при $x = 13$, после чего КПВ становится линейной, описываемой функцией, проходящей через точку (20;0) с наклоном 30, то есть $y = 600 - 30x$, таким образом общее КПВ это кусочная функция, $y = -2x^2 + 36x + 80$ при $13 > x \geq 0$; $y = 600 - 30x$ при $x \geq 13$.
Спросите ребенка про точки, которые нам недоступны, но левее тех, что доступны, важно чтобы он понимал их смысл.
Запишем выручку Помоны: 100х (плата за экскурсии) + 50х (плата за пучки, проданные группам) + $((4 + 2x) \cdot (20 - x) - 8x) \cdot 5$ (количество собранных пучков минус количество пучков для групп умножить на цену пучка) для первого участка и $100x + 50x + (600 - 30x - 8x) \cdot 5$ для второго участка. Оптимум на первом участке достигается в точке $14.5$, однако она лежит вне ограничения, то есть на этом участке значение максимально из доступных в точке 13. На втором участке максимум достигается в точке 0, но она лежит вне ограничения, то есть на этом участке значение максимально из доступных в точке 13. Значит точка 13 и есть оптимум, она потратит 13 часов на экскурсии, 7 часов на сбор цветов и получит выручку 2480. Важно проверить, что цветов хватит на все группы, то есть что $8x \leq (4 + 2x) \cdot (20 - x)$ или $600 - 30x$ в зависимости от участка, что в данном случае выполняется.
Спросите ребенка про точки, которые нам недоступны, но левее тех, что доступны, важно чтобы он понимал их смысл.
Запишем выручку Помоны: 100х (плата за экскурсии) + 50х (плата за пучки, проданные группам) + $((4 + 2x) \cdot (20 - x) - 8x) \cdot 5$ (количество собранных пучков минус количество пучков для групп умножить на цену пучка) для первого участка и $100x + 50x + (600 - 30x - 8x) \cdot 5$ для второго участка. Оптимум на первом участке достигается в точке $14.5$, однако она лежит вне ограничения, то есть на этом участке значение максимально из доступных в точке 13. На втором участке максимум достигается в точке 0, но она лежит вне ограничения, то есть на этом участке значение максимально из доступных в точке 13. Значит точка 13 и есть оптимум, она потратит 13 часов на экскурсии, 7 часов на сбор цветов и получит выручку 2480. Важно проверить, что цветов хватит на все группы, то есть что $8x \leq (4 + 2x) \cdot (20 - x)$ или $600 - 30x$ в зависимости от участка, что в данном случае выполняется.