Ставки, деньги, два периода
Рассмотрим двухпериодную модель потребления. Функция полезности потребителя $u(c_1, c_2) = \ln(c_1) + \beta\ln(c_2)$. Доход потребителя в каждом периоде составляет 1000\$. Потребитель может занимать и сберегать по единой ставке $r = 50\%$.
Подпункты
а)
Записать бюджетное ограничение и найти оптимальные объемы потребления, если $\beta = 1$;
б)
Пусть потребитель может сберегать по ставке $r_s = 50\%$, а занимать по ставке $r_b = 60\%$. Изобразите на графике изменение бюджетной линии (в координатах $c_1$, $c_2$). Если учитывать выбор потребителя из первого пункта, может ли он стать заёмщиком (потреблять в первом периоде больше, чем зарабатывает)? Объясните ответ, опираясь на график.
в)
При каких значениях $\beta$ он будет заёмщиком (то есть будет потреблять в первом периоде больше, чем зарабатывает) при сохранении ставок из предыдущего пункта?
Решение
$$
\begin{cases}
u(c_1,c_2) = ln(c_1) + ln(c_2) \to max \\
s.t. 1,5c_1 + c_2 = 2500
\end{cases}
$$
$\ln(c_1) + \ln(2500-1,5c_1) = \ln(2500c_1-1,5{c_1}^2)$
Т.к. предпочтения монотонные и выпуклые, берем производную, приравниваем к нулю:
$\frac{2500-3c_1}{c_1(2500-1,5c_1)} = 0$
$c_1 = \frac{2500}{3}$, $c_2 = 1250$
Не может, т.к. в оптимуме из пункта 1 он был кредитором, при изменении бюджетной линии ему также доступна оптимальная точка из предыдущего пункта, альтернативный выбор быть заемщиком стал хуже, т.к. заемная часть бюджетной линии сдвинулась вниз, а он не выбрал быть заемщиком даже тогда, когда альтернативный выбор был лучше. Это логично, учитывая то что ставка по кредитам только увеличилась – брать кредит стало еще дороже.
$$
\begin{cases}
u(c_1,c_2) = lnc_1 + \beta lnc_2 \to max \\
s.t. 1,6c_1 + c_2 = 2600 \\
c_1 > 1000
\end{cases}
$$
$\frac{1}{c_1} - \frac{1,6 \beta}{2600 - 1,6c_1} = 0
c_1 = 1625 - \beta > 1000
\beta < 625$
Из бюджетного ограничения: $c_1 = 1625 - \beta \le 1625$
$0 \le\beta < 625$
\begin{cases}
u(c_1,c_2) = ln(c_1) + ln(c_2) \to max \\
s.t. 1,5c_1 + c_2 = 2500
\end{cases}
$$
$\ln(c_1) + \ln(2500-1,5c_1) = \ln(2500c_1-1,5{c_1}^2)$
Т.к. предпочтения монотонные и выпуклые, берем производную, приравниваем к нулю:
$\frac{2500-3c_1}{c_1(2500-1,5c_1)} = 0$
$c_1 = \frac{2500}{3}$, $c_2 = 1250$
Не может, т.к. в оптимуме из пункта 1 он был кредитором, при изменении бюджетной линии ему также доступна оптимальная точка из предыдущего пункта, альтернативный выбор быть заемщиком стал хуже, т.к. заемная часть бюджетной линии сдвинулась вниз, а он не выбрал быть заемщиком даже тогда, когда альтернативный выбор был лучше. Это логично, учитывая то что ставка по кредитам только увеличилась – брать кредит стало еще дороже.
$$
\begin{cases}
u(c_1,c_2) = lnc_1 + \beta lnc_2 \to max \\
s.t. 1,6c_1 + c_2 = 2600 \\
c_1 > 1000
\end{cases}
$$
$\frac{1}{c_1} - \frac{1,6 \beta}{2600 - 1,6c_1} = 0
c_1 = 1625 - \beta > 1000
\beta < 625$
Из бюджетного ограничения: $c_1 = 1625 - \beta \le 1625$
$0 \le\beta < 625$