Предельно склоните потребление
Потребитель живет три периода, а именно: ${0,1,2}$. Его полезность от потребления в каждом из периодов выражается функцией $U_i = 3T\cdot C_i - C_i^2$, где $C_i$ – потребление в периоде $i \in \{0, 1, 2\}$. В нулевом периоде ему приходит чек от Дональда Трампа в размере $T$, а, так как из-за пандемии он потерял работу, то это его единственный источник дохода за эти три периода. Иными словами бюджетное ограничение в первом периоде имеет вид: $W_1=(1+r)(T - C_0)$, а во втором: $W_2=(1+r)(W_1-C_1)$, где $r$ – ставка процента, $W_1$ – богатство в первом периоде, а $W_2$ – богатство во втором периоде. Потребитель очень терпелив, и поэтому ценит текущий период так же, как и будущий. Для простоты считайте, что $r=0$. (10 баллов) Найдите $mpc$ (предельную склонность к потреблению) потребителя в периоде 0. (10 баллов) Пусть теперь потребление в первом периоде экзогенно задано как $C_1=\dfrac{1}{2}(1-\lambda)W_1$, где $\lambda$ – ошибка в выборе потребления в первом периоде. Найдите новое значение $mpc$ в периоде 0, как функцию от $\lambda$. (10 баллов) Докажите, что $mpc$ увеличивается при любом отклонении $\lambda$ от нуля.
Решение
Запишем задачу потребителя: $$\begin{cases} U = 3T\cdot C_0 - C_0^2 + 3T\cdot C_1 - C_1^2 + 3T\cdot C_2 - C_2^2 \rightarrow \underset{C_0, C_1, C_2 \geqslant 0}{max} \\ C_0 + C_1 + C_2 = T \end{cases}$$ Найдём предельную полезность потребления в каждом из периодов: $$\begin{cases} MU_0 = U'_{C_0} = 3T - 2C_0 \\ MU_1 = U'_{C_1} = 3T - 2C_1 \\ MU_2 = U'_{C_2} = 3T - 2C_2 \end{cases}$$ Из бюджетного ограничения видно, что цена потребления в каждом периоде постоянная и равна единице, поэтому можем записать правило равенства отношений предельных полезностей к ценам следующим образом: $MU_0 = MU_1 = MU_2 \Rightarrow C_0 = C_1 = C_2 = \frac{T}{3}$. Тогда несложно найти предельную норму потребления в нулевом периоде. Она равна отношению потребления к доходу, т.е. $mpc_0 = \frac{\frac{T}{3}}{T} = \frac{1}{3}$. $$C_1 = \frac{1}{2}(1 - \lambda)W_1 = \frac{1-\lambda}{2}(T - C_0)$$ Из бюджетного ограничения: $$C_2 = T - C_0 - C_1 = T - C_0 - \frac{1-\lambda}{2}(T-C_0) = (T - C_0)\frac{1+\lambda}{2}$$ Подсталвляем всё в полезность: $$U = 3T\cdot C_0 - C_0^2 + 3T\cdot \frac{1-\lambda}{2}(T - C_0) - \frac{(1-\lambda)^2}{4}(T-C_0)^2 + 3T\cdot \frac{1+\lambda}{2}(T - C_0) - \frac{(1+\lambda)^2}{4}(T-C_0)^2 =$$ $$= 3T\cdot C_0 - C_0^2 + 3T(T-C_0)\frac{1-\lambda+1+\lambda}{2}-(T-C_0)^2\frac{(1-\lambda)^2 + (1+\lambda)^2}{4} = 3T\cdot C_0 - C_0^2 + 3T(T-C_0) -$$ $$- (T-C_0)^2\frac{1+\lambda^2}{2} = -(1+\frac{1+\lambda^2}{2})C_0^2 + (1+\lambda^2)T\cdot C_0 +3T^2 -\frac{1+\lambda^2}{2}T^2$$ Функция полезности имеет вид параболы ветвями вниз относительно $C_0$, значит максимум – в вершине. $$C_0^* = \frac{(1+\lambda^2)T}{3+\lambda^2}$$ Теперь можем найти предельную склонность к потреблению: $$mpc_0 = \frac{\frac{(1+\lambda^2)T}{3+\lambda^2}}{T} = \frac{1+\lambda^2}{3+\lambda^2}$$ Найдём производную $mpc$ по $\lambda$: $$mpc'_{\lambda} = \frac{2\lambda(3+\lambda^2) - 2\lambda(1+\lambda^2)}{(3+\lambda^2)^2} = \frac{4\lambda}{(3+\lambda^2)^2}$$ Производная равна 0 при $\lambda = 0$. Теперь определим минимум это или максимум: $$mpc'' = \frac{4(3+\lambda^2)^2 - 2\cdot 2\lambda(3+\lambda^2)\cdot 4\lambda}{(3+\lambda^2)^4}$$ $$mpc''(0) = \frac{4\cdot 9}{81} = \frac{4}{9} > 0$$ Вторая производная больше 0, значит $\lambda = 0$ – точка минимума для функции $mpc$, что по определению означает, что при любом отклонении от данной точки функция будет увеличиваться.