Чемпион не тот, кто взял, а тот, кто отстоял свой пояс
Про многочлен с нечётной степенью без кратных корней известно, что его действительные корни(их хотя бы два) образуют одновременно арифметическую и геометрическую прогрессию, и все корни положительны. Какая наибольшая степень может быть у этого многочлена?
Решение
Такого многочлена не может существовать. Всё просто, сначала нужно доказать, что геом прогрессия и арифм прогрессия не могут совпадать в трех подряд идущих точках(т.к корни положительны упорядочив их мы получим геом и арифм прогрессию, и n-ый элемент арифм и геом прогрессии совпадут), затем нужно доказать, что у многочлена нечетной степени обязательно нечетное кол-во корней, если кратных корней нет(это не очень просто, но задача ведь дополнительная), а затем сказать, что раз корней минимум два, то их хотя бы три, а тогда арифм прогрессия и геом прогрессия совпадают в трех точках, значит противоречие.