В горном городке Снежногорске жизнь делится на два периода: с ноября по апрель с
В горном городке Снежногорске жизнь делится на два периода: с ноября по апрель сюда съезжаются любители горных лыж и сноуборда, в остальоное же время город возвращается к тихому полупустому существованию. Местные жители четко делятся на две группы, доходы внутри которых распределены равновмерно. Известно также, что доход бедного местного равен доходу самого бедного туриста, а самый богатый турист имеет столько же денег, что и богатый житель Снежногорска. Местные экономисты решили провести исследование и выяснили, что участок кривой Лоренца в горнолыжный сезон, описывающей доход туристов, задан функцией: $y = \frac{1}{16}+x^2$
Подпункты
а)
Определите процентное соотношение групп среди местных
б)
Постройте кривую Лоренца для обоих периодов
в)
Рассчитайте коэффициент Джини для межсезонья
г)
Объясните без вычислений, в какую сторону изменится коэффициент в сезон и почему
Решение
Пусть доля бедных жителей $x_1$. Наклон первой прямой и касательная к точке $x_1$ должны совпадать, так как доход бедного местного равен доходу самого бедного туриста. Тогда $k_1 = 2x_1 \Rightarrow y_1 = 2x_1\cdot x$. В точке $x_1$ значения функций должны быть равны: $2x_1^2 = \frac{1}{16}+x_1^2 \Rightarrow x_1 = \frac{1}{4}$ — доля бедных местных жителей от всего числа людей в сезон.
Пусть $x_2$ — доля бедных местных и всех тюристов от всего числа людей в сезон. Тогда наклон второй прямой и касательная к точке $x_2$ должны совпадать, так как доход богатого местного равен доходу самого богатого туриста. Значит $k_2 = 2x_2 \Rightarrow y_2 = 2x_2\cdot x - a$. При этом, $y_2(1) = 1 \Rightarrow 2x_2 - a = 1 \Rightarrow a = 2x_2-1$. В точке $x_2$ значения функций должны быть равны: $2x_2^2 - 2x_2 +1 = \frac{1}{16}+x_2^2 \Rightarrow (x_2-1)^2 = \frac{1}{16} \Rightarrow x_2 = \frac{3}{4}$. Значит доля богатых местных от всего числа людей в сезон равна $\frac{1}{4}$ и равна доле бедных местных. Следовательно соотношение групп среди местных равно 1:1 или 50%:50%.
В сезон кривая Лоренца равна: $y=\begin{cases}
\frac{1}{2}x, x \leqslant \frac{1}{4}
\frac{1}{16}+x^2, \frac{1}{4} \leqslant x \leqslant \frac{3}{4}
\frac{3}{2}x-\frac{1}{2}, \frac{3}{4} \leqslant x \leqslant 1
\end{cases}$
Бедная часть местных имеют долю дохода $y_1 = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{8}$. Богатая часть местных имеют долю дохода $y_2 = 1-\frac{3}{2}\cdot\frac{3}{4}-\frac{1}{2}=\frac{3}{8}$. Значит в период межсезонья их доходы соотносятся как $1:3$. Доля доходов бедных $\frac{1}{4}$, доля дохода богатых $\frac{3}{4}$.
Тогда в межсезон кривая Лоренца равна: $y=\begin{cases}
\frac{1}{2}x, x \leqslant \frac{1}{2}
\
\frac{3}{2}x-\frac{1}{2}, \frac{1}{2} \leqslant x \leqslant 1
\end{cases}$
$G = 1-2(\frac{0,5\cdot0,25}{2}+\frac{(0,25+1)\cdot0,5}{2}) = 0,25$
Коэффицент Джини в сезон уменьшится, так как появится класс людей со средним доходом, что уменьшит неравенство между группами.
Пусть $x_2$ — доля бедных местных и всех тюристов от всего числа людей в сезон. Тогда наклон второй прямой и касательная к точке $x_2$ должны совпадать, так как доход богатого местного равен доходу самого богатого туриста. Значит $k_2 = 2x_2 \Rightarrow y_2 = 2x_2\cdot x - a$. При этом, $y_2(1) = 1 \Rightarrow 2x_2 - a = 1 \Rightarrow a = 2x_2-1$. В точке $x_2$ значения функций должны быть равны: $2x_2^2 - 2x_2 +1 = \frac{1}{16}+x_2^2 \Rightarrow (x_2-1)^2 = \frac{1}{16} \Rightarrow x_2 = \frac{3}{4}$. Значит доля богатых местных от всего числа людей в сезон равна $\frac{1}{4}$ и равна доле бедных местных. Следовательно соотношение групп среди местных равно 1:1 или 50%:50%.
В сезон кривая Лоренца равна: $y=\begin{cases}
\frac{1}{2}x, x \leqslant \frac{1}{4}
\frac{1}{16}+x^2, \frac{1}{4} \leqslant x \leqslant \frac{3}{4}
\frac{3}{2}x-\frac{1}{2}, \frac{3}{4} \leqslant x \leqslant 1
\end{cases}$
Бедная часть местных имеют долю дохода $y_1 = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{8}$. Богатая часть местных имеют долю дохода $y_2 = 1-\frac{3}{2}\cdot\frac{3}{4}-\frac{1}{2}=\frac{3}{8}$. Значит в период межсезонья их доходы соотносятся как $1:3$. Доля доходов бедных $\frac{1}{4}$, доля дохода богатых $\frac{3}{4}$.
Тогда в межсезон кривая Лоренца равна: $y=\begin{cases}
\frac{1}{2}x, x \leqslant \frac{1}{2}
\
\frac{3}{2}x-\frac{1}{2}, \frac{1}{2} \leqslant x \leqslant 1
\end{cases}$
$G = 1-2(\frac{0,5\cdot0,25}{2}+\frac{(0,25+1)\cdot0,5}{2}) = 0,25$
Коэффицент Джини в сезон уменьшится, так как появится класс людей со средним доходом, что уменьшит неравенство между группами.