На рынке со спросом $P = 10 - Q$ действует четыре фирмы
На рынке со спросом $P = 10 - Q$ действует четыре фирмы. Взаимодействие устроено следующим образом:
1. Свой выпуск выбирает первая фирма
2. Свой выпуск выбирает вторая фирма
3. Свои выпуски одновременно выбирают третья и четвертая фирмы
Один чиновник предложил четвертой фирме поменять порядок выбора так, чтобы четвертая и первая фирма одновременно выбирали свои выпуски самым первыми (остальной порядок не меняется). Но, конечно, такая помощь не бесплатна, и чиновник просит заплатить ему S за услуги. При каком максимальном S фирма согласится на взятку?
1. Свой выпуск выбирает первая фирма
2. Свой выпуск выбирает вторая фирма
3. Свои выпуски одновременно выбирают третья и четвертая фирмы
Один чиновник предложил четвертой фирме поменять порядок выбора так, чтобы четвертая и первая фирма одновременно выбирали свои выпуски самым первыми (остальной порядок не меняется). Но, конечно, такая помощь не бесплатна, и чиновник просит заплатить ему S за услуги. При каком максимальном S фирма согласится на взятку?
Решение
До изменений (решаем с конца):
\[
\pi_3 = (10 - q_1 - q_2 - q_3 - q_4) q_3 \rightarrow \max
\Rightarrow q_3^* = \frac{10 - q_1 - q_2 - q_4}{2}
\]
Аналогично:
\[
q_4^* = \frac{10 - q_1 - q_2 - q_3}{2}
\Rightarrow q_3 = q_4 = \frac{10 - q_1 - q_2}{3}
\]
\[
\pi_2 = \left(10 - q_1 - q_2 - \frac{2}{3}(10 - q_1 - q_2)\right) q_2 \rightarrow \max
\Rightarrow q_2^* = \frac{10 - q_1}{2}
\]
\[
q_3 = q_4 = \frac{10 - q_1 - \frac{10 - q_1}{2}}{3}
= \frac{10 - q_1}{6}
\]
\[
\pi_1 = \left(10 - q_1 - \frac{5}{6}(10 - q_1)\right) q_1 \rightarrow \max
\Rightarrow q_1^* = \frac{10}{2} = 5
\Rightarrow q_2 = \frac{5}{2}
\Rightarrow q_3 = q_4 = \frac{5}{6}
\]
\[
\Rightarrow P = \frac{5}{6}
\Rightarrow \pi_4 = \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} = \frac{25}{36}
\]
После изменений (тоже с конца):
\[
\pi_3 = (10 - q_1 - q_2 - q_3 - q_4) q_3 \rightarrow \max
\Rightarrow q_3^* = \frac{10 - q_1 - q_2 - q_4}{2}
\]
\[
\pi_2 = (10 - q_1 - q_2 - \frac{10 - q_1 - q_2 - q_4}{2} - q_4) q_2 \Rightarrow
\]
\[
\pi_2 = \left(10 - q_1 - q_2 - q_4 - \frac{10 - q_1 - q_2 - q_4}{2} \right) q_2
\Rightarrow q_2^* = \frac{10 - q_1 - q_4}{2}
\Rightarrow q_3 = \frac{10 - q_1 - q_4}{4}
\]
\[
\pi_1 = \left(10 - q_1 - \frac{10 - q_1 - q_4}{2} - \frac{10 - q_1 - q_4}{4} - q_4 \right) q_1
\Rightarrow
\]
\[
= \frac{1}{4}(10 - q_1 - q_4) q_1 \rightarrow \max
\Rightarrow q_1^* = \frac{10 - q_4}{2}
\]
Аналогично:
\[
q_4^* = \frac{10 - q_1}{2} \Rightarrow q_1 = q_4 = \frac{10}{3}
\Rightarrow q_2 = \frac{5}{3}, q_3 = \frac{5}{12}
\]
\[
P = 10 - \frac{10}{3} - \frac{10}{3} - \frac{10}{12} - \frac{5}{12} = \frac{5}{4}
\Rightarrow \pi_4 = \frac{5}{4} \cdot \frac{10}{3} = \frac{25}{6}
\]
\[
S_{\max} = \frac{25}{6} - \frac{25}{36} = \frac{125}{36}
\]
\[
\pi_3 = (10 - q_1 - q_2 - q_3 - q_4) q_3 \rightarrow \max
\Rightarrow q_3^* = \frac{10 - q_1 - q_2 - q_4}{2}
\]
Аналогично:
\[
q_4^* = \frac{10 - q_1 - q_2 - q_3}{2}
\Rightarrow q_3 = q_4 = \frac{10 - q_1 - q_2}{3}
\]
\[
\pi_2 = \left(10 - q_1 - q_2 - \frac{2}{3}(10 - q_1 - q_2)\right) q_2 \rightarrow \max
\Rightarrow q_2^* = \frac{10 - q_1}{2}
\]
\[
q_3 = q_4 = \frac{10 - q_1 - \frac{10 - q_1}{2}}{3}
= \frac{10 - q_1}{6}
\]
\[
\pi_1 = \left(10 - q_1 - \frac{5}{6}(10 - q_1)\right) q_1 \rightarrow \max
\Rightarrow q_1^* = \frac{10}{2} = 5
\Rightarrow q_2 = \frac{5}{2}
\Rightarrow q_3 = q_4 = \frac{5}{6}
\]
\[
\Rightarrow P = \frac{5}{6}
\Rightarrow \pi_4 = \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} = \frac{25}{36}
\]
После изменений (тоже с конца):
\[
\pi_3 = (10 - q_1 - q_2 - q_3 - q_4) q_3 \rightarrow \max
\Rightarrow q_3^* = \frac{10 - q_1 - q_2 - q_4}{2}
\]
\[
\pi_2 = (10 - q_1 - q_2 - \frac{10 - q_1 - q_2 - q_4}{2} - q_4) q_2 \Rightarrow
\]
\[
\pi_2 = \left(10 - q_1 - q_2 - q_4 - \frac{10 - q_1 - q_2 - q_4}{2} \right) q_2
\Rightarrow q_2^* = \frac{10 - q_1 - q_4}{2}
\Rightarrow q_3 = \frac{10 - q_1 - q_4}{4}
\]
\[
\pi_1 = \left(10 - q_1 - \frac{10 - q_1 - q_4}{2} - \frac{10 - q_1 - q_4}{4} - q_4 \right) q_1
\Rightarrow
\]
\[
= \frac{1}{4}(10 - q_1 - q_4) q_1 \rightarrow \max
\Rightarrow q_1^* = \frac{10 - q_4}{2}
\]
Аналогично:
\[
q_4^* = \frac{10 - q_1}{2} \Rightarrow q_1 = q_4 = \frac{10}{3}
\Rightarrow q_2 = \frac{5}{3}, q_3 = \frac{5}{12}
\]
\[
P = 10 - \frac{10}{3} - \frac{10}{3} - \frac{10}{12} - \frac{5}{12} = \frac{5}{4}
\Rightarrow \pi_4 = \frac{5}{4} \cdot \frac{10}{3} = \frac{25}{6}
\]
\[
S_{\max} = \frac{25}{6} - \frac{25}{36} = \frac{125}{36}
\]