По мотивам уходящего ВсОШ
В $XXI$ веке ускорились темпы автоматизации производства, то есть замены труда людей капиталом — в основном, промышленными роботами. Неудивителен рост беспокойства по поводу того, что машины могут полностью заменить людей. В данной задаче мы рассмотрим модель, проливающую свет на этот феномен. Рассмотрим фирму, производственная функция которой имеет вид $Q = \sqrt{L_{1} + aR}$, где $Q$ — объём производства товара, $L_{1}$ — объём неквалифицированного труда людей (труда рабочих), $R$ — объём труда роботов, $a \geq 0$ — параметр, характеризующий производительность роботов. Фирма закупает неквалифицированный труд людей и труд роботов на конкурентном рынке по одинаковой цене, равной 1. При безразличии фирма использует для производства труд роботов, а не людей. Цена товара фирмы $P$ не зависит от произведённого количества товара, но зависит от его качества $z$: $P(z) = 4z$. Качество товара тем выше, чем больше инженеров, дизайнеров и других квалифицированных сотрудников наймёт фирма. А именно, $z = \sqrt{4L_2}$, где $L_{2}$ — объём квалифицированного труда людей. Цена единицы квалифицированного труда людей фиксирована и равна 2.
Подпункты
а)
При каких значениях a фирма будет использовать труд роботов?
б)
Допустим, качество товара фиксировано на определенном уровне $z \geq 0$. Определите оптимальный для фирмы объем производства как функцию от $z$ и $a$. Определите, какой объем $L_{1}$ будет нанимать фирма как функцию от $z$ и $a$.
в)
Определите, какое качество $z^{*}$ будет выбирать фирма как функцию от a.
г)
Определите величину суммарного спроса фирмы на труд людей как функцию от a.
д)
В XXI веке значение параметра $a$ быстро растет. Допустим, $a_{1}$ и $a_{2}$ таковы, что при росте производительности роботов с $a_{1}$ до $a_{2}$ фирма увольняет неквалифицированных работников. Верно ли, что при этом величина суммарного спроса фирмы на труд людей тоже сократится? Если нет, приведите этому содержательное экономическое объяснение.