Ягодный пирог — 5 класс
После приключения с Серым волком бабушка отправила Красную шапочку в лес за ягодами, чтобы испечь пироги для лесорубов. Бабушка знает, что Красная шапочка на сбор каждого килограмма черники тратит ровно 1/8 дня, а на сбор каждого килограмма земляники — ровно 1/12 дня. Девочка собирает ягоды с постоянной скоростью, а количество собранных ей ягод любого вида может быть любым (для упрощения будем считать, что Красная шапочка не обязательно собирает целое количество килограммов ягод). Бабушка собирается испечь диетический пирог по старинному тайному рецепту, благодаря которому масса готового пирога строго равна сумме масс его ингредиентов. Рецепт гласит: «В каждый пирог массой 1 килограмм нужно положить 1/2 килограмма земляники, 1/3 килограмма черники и добавить необходимое по массе количество теста. Других ингредиентов кроме теста, земляники и черники в пирог добавлять не нужно. Вылепить пирог и поставить в печь. Печь до готовности». Бабушка посчитала, что если Красная шапочка весь день будет работать с максимальной производительностью, ее усилий хватит на то, чтобы собрать ягоды для нужного количества пирогов, причем не останется ни одного лишнего ингредиента. Сколько килограммовых пирогов планирует испечь бабушка? Сколько земляники и черники соберет Красная шапочка, если выполнит поручение? Сколько теста будет потрачено бабушкой на изготовление пирогов?
Решение
Способ 1. Заметим, что лесорубов целое количество – поэтому пирогов будет целое количество. (альтернативное замечание: вопрос задачи «сколько килограммовых пирогов сможет испечь бабушка» – следовательно, пирогов целое количество). Для одного пирога нужно: $1/2$ килограмма земляники и $1/3$ килограмма черники. На сбор ингредиентов для одного пирога уйдёт: $1/2 \cdot 1/12 = 1/24$ дня на сбор земляники $1/3 \cdot 1/8 = 1/24$ дня на сбор черники. Тогда общее время на сбор ингредиентов для одного пирога составит $2/24 = 1/12$ дня. Следовательно, Красная шапочка сможет собрать ингредиенты на 12 пирогов. Значит бабушка испечет 12 пирогов (из условия известно, что ничего лишнего не осталось) Следовательно Красная шапочка соберет $1/2 \cdot 12 = 6$ килограммов земляники и $1/3 \cdot 12 = 4$ килограмма черники Пирог состоит из 3 частей и весит 1 килограмм Земляника и черника весят 1⁄2 + 1/3 = 5/6 килограмма. Так как сказано, что «масса готового пирога строго равна сумме масс его ингредиентов», тогда значит тесто в пироге весит 1/6 килограмма В 12 пирогах 12 * 1/6 = 2 килограмма теста Способ 2. Обозначим количество собранной Красной шапочкой земляники за $S$, а черники – за $B$. Нам известна производительность Красной шапочки в час, поэтому мы можем определить, что вместо 8 килограммов черники она может собрать 12 килограммов земляники. Так как она может собирать в течение дня оба вида ягод, а скорость сбора (производительность) постоянна, то очевидно, что вместо 1 единицы черники она может собрать $12/8=1,5$ единицы земляники. Тогда, собирая $B$ черники, Красная шапочка лишится возможности собрать $1,5\cdot B$ земляники из максимального количества в 12 килограммов. Получим $S = 12 – 1,5B$ По условию в пироге $S/B = (1/2)/(1/3) \Leftrightarrow S/b = 3/2 \Leftrightarrow S=1,5B$ Подставим: $1,5B = 12 – 1,5B \Leftrightarrow 3B = 12 \Leftrightarrow B = 4 \Rightarrow S = 6$ Тогда пирогов будет 12. Земляники будет собрано 6 килограммов, черники будет собрано 4 килограмма. Так как сказано, что «масса готового пирога строго равна сумме масс его ингредиентов», можно найти массу теста в каждом пироге. Пирог состоит из 3 частей и весит 1 килограмм. Каждый пирог весит 1 килограмм и на $1/2$ состоит из земляники, $1/3$ из черники и некоторую часть – из теста Земляника и черника весят $1/2 + 1/3 = 5/6$ килограмма. Значит теста в каждом пироге по 1/6 килограмма, а во всех пирогах – $1/6\cdot 12 = 2$ килограмма.