Параболас и Лаффер
В королевстве Параболас спрос и предложение на мечи задаются линейно. Король захотел ввести потоварный налог с производителей мечей в виде фиксированной суммы за каждый проданный меч. Но Король был мудрым и перед назначением налога решил выяснить как величина налоговых поступлений в бюджет $(T)$ зависит от ставки налога $(t)$. С помощью исследований, проведённых опытными учёными-экономистами, удалось выяснить, что при ставке налога 2 д.е. и 4 д.е. величина налоговых сборов (то есть величина налоговых поступлений в государственный бюджет) будет одинакова. К тому же выяснилось, что максимальная величина налоговых сборов в результате введения указанного выше налога составит 300 д.е. Выведите зависимость величины налоговых поступлений в бюджет от ставки налога (кривую Лаффера).
Ответ
$T = -\dfrac{100}{3}t^2 + 200t$.
Решение
1). Поскольку спрос и предложение задаются линейно, то кривая Лаффера в королевстве является параболой с ветвями вниз и выглядит следующим образом: $$ T=-\alpha t^2+\beta t $$ За правильную формулу - 3 балла Замечание: Данный вид кривой можно написать как сразу, исходя из предположений о линейности, так и вывести аналитически. А именно: $$ \begin{array}{l} Q_d=a-bp \\ Q_s=c+d(p-t) \\ Q_s=Q_d \\ a-bp=c+d(p-t) \\ p^*=\dfrac{a-c}{b+d} +\dfrac{d}{b+d}\cdot t \\ Q^*=a-bp^* \\ Q^*=a-b \left(\dfrac{a-c}{b+d} +\dfrac{d}{b+d}\cdot t \right) \\ Q^*=\left[ a-b \dfrac{a-c}{b+d} \right] - \left[b \dfrac{d}{b+d} \right] t \end{array} $$ Пусть $\left[ a-b \dfrac{a-c}{b+d} \right]=\beta$, а $\left[b \dfrac{d}{b+d} \right]=\alpha$. К тому же стоит обратить внимание, что $\alpha \gt 0$ (за счёт того, что $b \gt 0$ и $d \gt 0$). Тогда: $$\begin{array}{c} Q^*=\beta -\alpha t \Rightarrow T=tQ^* \\ T=-\alpha t^2 + \beta t \end{array} $$ 2). Известно, что $T(2)=T(4)$. Это означает, что: $$\begin{array}{c} -\alpha \cdot 2^2+\beta \cdot 2 = -\alpha \cdot 4^2+\beta \cdot 4 \\ -4\alpha+2\beta=-16\alpha+4\beta \\ 12\alpha=2\beta \\ 6\alpha=\beta \end{array} $$ За правильные расчёты - 2 балла Таким образом, можем записать, что: $T=-\alpha t^2 + 6\alpha t $. 3). Поскольку это парабола, направленная ветвями вниз, то мы можем определить её вершину: $$ t_{верш}=-\dfrac{6\alpha}{2\cdot (-\alpha)}=3$$ Замечание: $t=3$ можно найти и с помощью того, что $t=2$ и $t=4$ находятся от вершины на равном расстоянии. То есть достаточно посчитать среднее между 2 и 4. За правильные расчёты - 2 балла 4). Нам известно, что $T_{max}=300$. К тому же: $$T_{max}=T(t_{верш})=-\alpha\cdot3^2+6\alpha\cdot3=-9\alpha+18\alpha=9\alpha$$ Исходя из этого: $9\alpha=300 \Rightarrow \alpha=\dfrac{100}{3}, \beta=200$ 5). Теперь мы можем вывести зависимость величины налоговых поступлений в бюджет от ставки налога: $$T=-\dfrac{100}{3}t^2+200t$$ За правильные расчёты - 3 балла Ответ: $T=-\dfrac{100}{3}t^2+200t$