Льготы для малого бизнеса
Фирма «Альфа» продает товар А на совершенно конкурентном рынке города N. Фирма использует единственный фактор производства — труд. При этом зависимость между количеством нанятых фирмой работников ($L$) и количеством тонн продукции, выпускаемых фирмой ($q$), имеет вид $q=\sqrt L$. Считайте, что $L$ не обязательно должно быть целым числом, так как фирма может нанимать работников на неполный рабочий день. Зарплата одного работника постоянна и равна 5 денежным единицам. На рынке товара А действует потоварный налог в размере 10 денежных единиц за каждую выпускаемую фирмой тонну продукции. Однако в рамках программы поддержки малого бизнеса малые предприятия этим налогом не облагаются. Малым считается предприятие, на котором работают не более четырех работников. Найдите функцию предложения фирмы «Альфа» и постройте ее график.
Решение
Так как из того, что $q=\sqrt{L}$ следует, что $L=q^2$ можно записать затраты фирмы на оплату труда как $5*L=5*q^2$. При этом, так как малое предприятие может использовать не больше 4 единиц труда, то его выпуск не превышает двух тонн продукции q≤2. (1 балл) Рассмотрим сначала ситуацию, когда фирма не сталкивается с налогом. В этом случае прибыль фирмы имеет вид: $pr=pq-5q^2$. Это парабола, с ветвями направленными вниз, и с вершиной в точке q=0,1p. Эта вершина удовлетворяет условию q<2 при p<20. Таким образом, при p<20 оптимально быть малым предприятием, даже если не учитывать налог (а уж с налогом и подавно). (2 балла) Теперь рассмотрим ситуацию, когда p≥20. В этой ситуации фирме будет выгодно либо производить ровно две тонны продукции (максимальный выпуск, при котором не надо платить налог), либо производить больше двух тонн и платить налог. (2 балла) Если фирма производит ровно две тонны продукции, то ее прибыль составит $pr_1=p*2-20=(p-10)*2$. (1 балл) Если фирма будет производить больше двух тонн, то ее прибыль будет иметь вид $pr=pq-5q^2-10q$ (относительно q — это парабола с ветвями направленными вниз). (1 балл) Ее максимальное значение будет достигаться в вершине параболы при q=0,1p-1 и составит $pr_2=p(0,1p-1)-5(0,1p-1)^2-10(0,1p-1)=(p-10)^2*0,05$ (1 балл) В каком случае фирма решит выбрать первый вариант из двух? В том случае, когда прибыль от него не меньше, чем от второго (3 балла): $pr_1≥pr_2$ $(p-10)*2≥(p-10)^2*0,05$ С учетом того, что мы рассматриваем ситуацию, когда p≥20, это неравенство легко решить: 2≥(p-10)*0,05 p≤50 Итак, теперь мы знаем, что при цене от 20 до 50 д.е. фирма будет производить ровно две тонны продукции. А при цене больше 50 д.е. ее выпуск составит q=0,1p-1. (2 балла) Теперь можно записать функцию предложения фирмы: Ниже представлен требуемый график, на котором жирные линии изображают три участка функции предложения (2 балла) : Ответ: $q_s= \begin{cases} 0,1p, = при \ p<20 \\ 2, \ при \ 20≤p≤50 \\ 0,1p-1, \ при \ p>50 \end{cases} $ Примечание: засчитываем верный ответ независимо от того, в какой из участков включена точка p=50.