Рынок труда
В регионе $X$ присутствуют два предприятия (Альфа и Бета), каждое из которых производит готовую продукцию исключительно с помощью труда: каждая единица труда может произвести одну единицу продукции в фирме Альфа либо две единицы продукции в фирме Бета. На рынках конечной продукции обе фирмы являются монополистами, при этом спрос на продукцию фирм определяется как $\alpha = 30 - p_{\alpha}$ и $\beta = 40 - p_{\beta}$ соответственно. В то же время, на региональном рынке труда фирмы действуют как совершенные конкуренты, полагая, что никак не могут влиять на заработную плату. Предложение труда в регионе $X$ абсолютно неэластично: все $15$ единиц труда готовы работать, лишь бы платили ненулевую зарплату.
Подпункты
а)
Какая заработная плата установится в равновесии в регионе $X$?
б)
У правительства региона $X$ есть возможность привлечь дополнительную рабочую силу в свой регион: если необходимо добиться притока мигрантов в количестве $m$ единиц труда (вдобавок к уже имеющимся $15$), то стоимость такой программы составит $0,8m^2$ д.е. Все новые работники предлагают свои услуги абсолютно неэластично – точно так же, как и местные. Реализуя программу привлечения мигрантов, власти стремятся максимизировать совокупное благосостояние на рынке труда, которое складывается из прибылей обеих действующих в регионе фирм и дохода всех занятых в регионе работников за вычетом расходов на программу. Выигрыш потребителей продукции Альфы и Беты региональные власти не принимают во внимание – продукция продаётся за пределами региона $X$. Сколько мигрантов будет привлечено?
в)
На работу в администрацию региона $X$ вышел новый чиновник, ответственный за функционирование рынка труда и реализацию миграционной программы. Во-первых, он не уверен, что издержки на «переманивание» новых работников в точности равны $0,8m^2$ д.е., а считает, что издержки составляют $\mu m^2$д.е., $\mu > 0$. Во-вторых, он ни при каких условиях не готов приглашать в регион больше мигрантов, чем при прежней политике, т.е. чем в пункте (б). В-третьих, чиновник полагает, что в совокупном благосостоянии следует учитывать суммарный доход не всех занятых в регионе работников, а только «местных», т.е. тех $15$ единиц труда, которые находились в регионе изначально. Сколько мигрантов будет привлечено в регион в зависимости от $\mu$?
Решение
а) Производственная функция у Альфы $\alpha = L_{\alpha}$: прибыль Альфы (1 балл): $$\pi_{\alpha}(L_{\alpha}) = p_{\alpha}\alpha - wL_{\alpha} = (30 - \alpha)\alpha - wL_{\alpha} = (30 - w)L_{\alpha} - L_{\alpha}^2 \rightarrow \underset{L_{\alpha} \geq 0}{max}$$ Парабола с ветвями вниз (1 балл) , вершина в точке $L_{\alpha}^{*}(w) = 15 - 0,5w$ (1 балл) $-$ это и есть спрос Альфы на труд: зависимость оптимального количества труда от зарплаты. Производственная функция у Беты $\beta= 2L_{\beta}$: прибыль Беты (1 балл): $$\pi_{\beta}(L_{\beta}) = p_{\beta}\beta - wL_{\beta} = (40 - \beta)\beta - wL_{\beta} = (40 - 2L_{\beta})2L_{\beta} - wL_{\beta} = (80 - w)L_{\beta} - 4L_{\beta}^2 \rightarrow \underset{L_{\beta} \geq 0}{max} $$ Парабола с ветвями вниз (1 балл) , вершина в точке $L_{\beta}^{*}(w) = 10 - 0,125w$ (1 балл) $-$ это и есть спрос Беты на труд: зависимость оптимального количества труда от зарплаты. Значит, суммарный спрос (2 балла) на труд в регионе $X$ составляет $$L_{d}(w) = \begin{cases} 25 - 0,625w, \ 0 \leq w \leq 30 \\ 10 - 0,125w, \ 30 \leq w \leq 80 \end{cases}$$ Предложение труда абсолютно неэластично и составляет $L_{s} = 15$. Очевидно, что равенство спроса и предложения на рынке труда достигается на первом участке спроса: $25 - 0,625w = 15$, откуда $w = 16$ (1 балл). Итог 9 баллов. б) На графике рынка труда можно увидеть, что совокупное благосостояние прирастет за счет площади трапеции (3 балла), основаниями которой являются старая и новая зарплаты, а высотой $-$ сдвиг предложения труда, равный количеству мигрантов $m$. Но благосостояние будет уменьшаться из-за издержек на привлечение мигрантов $0,8m^2$. Исходная зарплата $w_{1} = 16$, как было установлено в пункте а); новую зарплату можно найти, приравняв спрос на труд к новому предложению труда: $$25 - 0,625w_{2} = 15 + m, \qquad w_{2} = 16 - 1,6m$$ (1 балл) Таким образом, изменение благосостояния составит (2 балл) $$\Delta SW = 0,5(w_{1} + w_{2})m - 0,8m^2 = 0,5(16 + 16 - 1,6m)m - 0,8m^2 = \\ =0,5(32m - 1,6m^2) - 0,8m^2 = 16m - 1,6m^2 \rightarrow \underset{m \geq 0}{max}$$ Парабола с ветвями вниз (1 балл) , вершина в точке $m^{*} = 5$ (1 балл) $-$ это и есть оптимальное число мигрантов. Другой способ решения (в лоб): $w_{2} = 16 - 1,6m$ (1 балл) В оптимуме: $L_{\alpha}^{*}(w) = 15 - 0,5w_{2} = 7 + 0,8m$, откуда $\pi_{\alpha}(L_{\alpha}^{*}) = (7 + 0,8m)^2$ (1 балл), $L_{\beta}^{*}(w) = 10 - 0,125w_{2} = 8 + 0,2m$, откуда $\pi_{\beta}(L_{\beta}^{*}) = 4(8 + 0,2m)^2$ (1 балл), Доход работников $(15 + m)(16 - 1,6m)$ (1 балл) Если значения $\pi_{\alpha}(L_{\alpha}^{*})$, $\pi_{\beta}(L_{\beta}^{*})$ и доход работников найдены неявно и сразу подставлены в функцию общественного благосостояния, баллы ставятся . Таким образом, общественное благосостояние будет (2 балла) $SW = (7 + 0,8m)^2 + 4(8 + 0,2m)^2 + (15 + m)(16 - 1,6m) - 0,8m^2 = 545 + 16m - 1,6m^2 \rightarrow \underset{m \geq 0}{max}$ Парабола с ветвями вниз (1 балл) , вершина в точке $m^{*} = 5$ (1 балл) $-$ это и есть оптимальное число мигрантов. Итог 8 баллов. в) На графике рынка труда можно увидеть, что совокупное благосостояние прирастет за счет площади прямоугольного треугольника, одним катетом которого являются разница старой и новой зарплаты, а другим $-$ сдвиг предложения труда, равный количеству мигрантов $m$ (3 балла). Но благосостояние будет уменьшаться из-за издержек на привлечение мигрантов $\mu m^2$. Как было найдено, $w_{1} = 16$ и $w_{2} = 16 - 1,6m$ тогда $w_{1} - w_{2} = 16 - (16 - 1,6m) = 1,6m.$ Таким образом, изменение благосостояния составит (2 балла) $$\Delta SW = 0,5(w_{1} - w_{2})m - \mu m^2 = 0,5 \cdot 1,6m \cdot m - \mu m^2 = 0,8m^2 - \mu m^2 = (0,8 - \mu)m^2 \rightarrow \underset{0 \leq m \leq 5}{max}$$ Отсюда видно, что если $\mu < 0,8$, то благосостояние монотонно растет по $m$, а значит оптимальное число мигрантов $m^{*} = 5$ (1 балл), а если $\mu > 0,8$, то благосостояние монотонно убывает по $m$, а значит оптимальное число мигрантов $m^{*} = 0$ (1 балл); в точности при $\mu = 0,8$ оптимальным может быть любое число мигрантов (1 балл). Другой способ решения (в лоб): $w_{2} = 16 - 1,6m$ (1 балл) В оптимуме: $L_{\alpha}^{*}(w) = 15 - 0,5w_{2} = 7 + 0,8m$, откуда $\pi_{\alpha}(L_{\alpha}^{*}) = (7 + 0,8m)^2$ (1 балл), $L_{\beta}^{*}(w) = 10 - 0,125w_{2} = 8 + 0,2m$, откуда $\pi_{\beta}(L_{\beta}^{*}) = 4(8 + 0,2m)^2$ (1 балл), (Если $w_{2}$, $\pi_{\alpha}(L_{\alpha}^{*})$, $\pi_{\beta}(L_{\beta}^{*})$ найдены в пункте (б) и использовались в (в), баллы ставятся и в пункте (в)) Доход работников $15(16 - 1,6m)$, Таким образом, общественное благосостояние будет (2 балла) $SW = (7 + 0,8m)^2 + 4(8 + 0,2m)^2 + 15 \cdot (16 - 1,6m) - \mu m^2 = 545 + (0,8 - \mu)m^2 \rightarrow \underset{0 \leq m \leq 5}{max}$ Отсюда видно, что если $\mu < 0,8$, то благосостояние монотонно растет по $m$, а значит оптимальное число мигрантов $m^{*} = 5$ (1 балл), а если $\mu > 0,8$, то благосостояние монотонно убывает по $m$, а значит оптимальное число мигрантов $m^{*} = 0$ (1 балл); в точности при $\mu = 0,8$ оптимальным может быть любое число мигрантов (1 балл). Итог 8 баллов.