Необитаемый остров
Корабль, на котором плыл Робинзон, потерпел кораблекрушение, и он оказался на маленьком необитаемом острове в океане. У него оказалось два полностью разряженных мобильных телефона, Samsung и Nokia, одно автономное зарядное устройство (АЗУ) и часы с секундомером. Для каждой минуты использования телефона Nokia нужно заряжать его 1 минуту, а для каждой минуты использования телефона Samsung нужно заряжать его 2 минуты. Всего АЗУ может работать не более 12 минут, которые можно распределить между телефонами в любой пропорции. SIM-карты, установленные в телефонах, подключены к общему лицевому счету, на котором осталось \$12. Но тарифы на SIM-картах разные: стоимость минуты соединения с телефона Samsung составляет \$1, а минута соединения с телефона Nokia обходится на 50% дороже. Менять SIM-карты в телефонах местами нельзя. Как должен действовать Робинзон, чтобы получить возможность говорить по телефону максимальное количество времени?
Решение
Пусть N — количество минут, которые можно использовать телефон Nokia, а S – количество минут, которые можно использовать телефон Samsung. Из условия можно вывести ограничения, которые возможности зарядного устройства и тарифов накладывают на Робинзона: ограничение по зарядке: 2S+N=12, ограничение по тарифам: S+1,5N=12 (2 балла за каждое ограничение — всего 4 балла) . Множество доступных распределений — такие точки, которые не выходят за оба ограничения (заштрихованная область) (5 баллов) . Точка пересечения двух линий — S=3, N=6. Теперь выберем среди доступных точек такую, где суммарное количество минут максимально (6 баллов за любой из способов). Первый способ Можно проверить, что, находясь в точке пересечения ограничений (3;6), Робинзон не может увеличить суммарное количество минут. Действительно, если он захочет увеличить S на X минут, то актуально будет ограничение по зарядке и N уменьшится на 2X минут (то есть S+N уменьшится на X минут). С другой стороны, если он захочет увеличить N на X минут, то актуально будет ограничение по тарифам, и S уменьшится на 1,5X минут (S+N уменьшится на 0,5X минут). Значит, точка (3;6) является оптимальной. Эти же рассуждения можно провести, начав «двигаться» из одной из угловых точек допустимого множества: (6;0) или (0;8). Сначала движение выгодно (увеличивает S+N), но при достижении точки (3;6) оно перестает быть выгодным, так что (3;6) — оптимальная точка. Второй способ Можно графически получить решение задачи максимизации суммарного количества минут. Для этого нарисуем на том же графике несколько линий, N=T-S (линии изображены пунктиром на рисунке). Меняя параметр T, мы изменяем сумму N+S, поскольку N+S=T . Чем дальше лежит пунктирная линия от начала координат, тем больше значение T. Тогда максимально удаленная от начала координат линия, содержащая хотя бы одну точку из допустимых (закрашенная область), лежит в точке пересечений ограничений (3;6). Значит, точка (3;6) является оптимальной. Ответ: Необходимо 6 минут заряжать Nokia, 6 минут заряжать Samsung, при этом можно будет осуществить соединение с помощью телефона Nokia в течение 6 минут и с помощью телефона Samsung в течение 3 минут. Максимальное время разговора в этом случае составит 9 минут.