Звёздочки и шары
Гномы Ори, Дори и Нори – известные умельцы, в мастерской по изготовлению ёлочных украшений выдувают стеклянные звёздочки и шары. За один час Ори (самый неторопливый) может полностью сделать, раскрасить и красиво упаковать 1 шар или 1 звёздочку. Дори не любит возиться со звёздочками и никогда их не делает, но за то же время успевает подготовить 3 шара. Нори ловок в любом деле – за час у него получаются 2 шара или 2 звёздочки.
Подпункты
а)
Гномы получили заказ на изготовление 120 наборов украшений, каждый из которых состоит из 1 звёздочки и 2 шаров, и хотят выполнить его побыстрее, ведь впереди – каникулы. Сколько времени им нужно запланировать для работы?
б)
За лето некоторые гномы закончили курсы повышения квалификации, оказалось, что Ори теперь в два раза быстрее может делать звёздочки, а Нори – в два раза быстрее шары, при этом общая производительность для мастерской выросла на 50%. Производительность Дори в производстве шаров тоже возросла, но он по прежнему не желает изготовлять звёздочки. Поэтому заказ может быть выполнен быстрее, чем планировалось (в пункте а), и гномы никак не могут решить, что им делать в оставшееся время: производить на продажу дополнительные наборы или просто украшения по-отдельности. На местном рынке наборы стоят 170 монет, звёздочки – 70 монет, а шары – 50 монет, спрос на украшения большой, так что всё произведённое будет реализовано. Средние издержки производства любого украшения постоянны и одинаковы. Какое решение об использовании оставшегося до каникул времени примут гномы, если по прежнему планируют выполнить заказ как можно быстрее и за оставшееся время заработать как можно больше монет? Приведите корректное объяснение.
Решение
Составим таблицу производительности труда гномов (шт./час): $$\begin{array}{l|cc|cc}\hline & \text{Шары (до)} & \text{Звёзд. (до)} & \text{Шары (после)} & \text{Звёзд. (после)} \\ \hline \text{Ори} & 1 & 1 & 1 & 2 \\ \text{Дори} & 3 & 0 & 3+k & 0 \\ \text{Нори} & 2 & 2 & 4 & 2 \\ \hline\end{array}$$ А) Первый способ. «Аналитический» Пусть T — общее время, затраченное гномами на работу, $l_О$ — время, затраченное Ори на изготовление шаров, а $l_Н$ — время, затраченное Нори на изготовление шаров. Поскольку шары делают только эти два гнома, верно равенство $$l_0+2l_H=240$$ так как, по условиям контракта, должно быть изготовлено 240 шаров. Вместе с тем, звёздочек должно быть 120, так что $$(T-l_0)+3T+2(T-l_H)=240$$ Приводя подобные слагаемые и подставляя первое уравнение во второе, получаем T = 60. Второй способ. «Графический» Построим КПВ гномов в расчёте на один час: Чтобы шары и звёздочки были в правильной пропорции, нужно выбрать точку (4;2) на этой КПВ, то есть за час будет изготовлено 2 комплекта. Получаем, что 120 комплектов будет изготовлено за 60 часов. Третий способ. «Оценка плюс пример» Даже если каждый гном будет производить только то, что умеет делать лучше, гномам не удастся произвести более 6 украшений (любых типов) за час. В каждом комплекте 3 украшения, значит, произвести за час больше двух комплектов точно не удастся. Это означает, что 120 комплектов точно не будут сделаны быстрее, чем за 60 часов. Покажем, как сделать их ровно за 60 часов: Дори произведёт 180 шаров, Ори произведёт 60 звёздочек, а Нори произведёт 60 шаров и 60 звёздочек. Б) Заметим, что любая выручка, полученная с участием продажи комплектов, может быть получена и при продаже украшений только по отдельности (потому что комплект стоит столько же, сколько его части, проданные сами по себе). Поэтому в дальнейшем мы будем игнорировать возможность продажи комплектами, а будем обсуждать только продажу отдельных украшений. Как бы ни изменилась производительность Дори, ему есть смысл делать наибольшее возможное число шаров, чтобы максимизировать выручку (звёздочки он делать не умеет). Сделав шар, Ори может продать его за 50 монет. Вместо этого за то же время он может сделать две звезды и продать их за 140 монет. Значит, Ори делает только звезды. Сделав звезду, Нори может продать её за 70 монет. Вместо этого за то же время он может сделать два шара и продать их за 100 монет. Значит, Нори делает только шары.