Парадокс неравенства
Как-то, читая журнал «Вопросы неравенства», Юный Экономист наткнулся на заметку, в которой сравнивался уровень среднедушевого дохода в странах Ричии и Пурии. (В этих двух странах, как известно, есть по две группы населения — группа богатых и группа бедных. Доходы внутри каждой из групп распределены равномерно). Вот отрывок из заметки: «За последний год доход одного бедного в Ричии составил 8, в то время как доход одного бедного в Пурии составил 5. При этом доход одного богатого в Ричии составил 72, а в Пурии — 30. Таким образом, каждая группа населения в Ричии богаче, чем аналогичная группа в Пурии. Значит, и среднедушевой доход в Ричии явно больше, чем среднедушевой доход в Пурии, что, несомненно, говорит о большей эффективности работы…» Будучи внимательным и вдумчивым читателем, Юный Экономист поставил под сомнение вывод автора заметки о том, что среднедушевой доход в Ричии «явно больше». Чтобы разобраться в ситуации, он формализовал условие и попытался доказать этот вывод математически. Однако вскоре Юный Экономист понял, что вывод этот просто-напросто неверен! Юный Экономист смог подобрать такой пример, удовлетворяющий условию, при котором среднедушевой доход в Ричии на самом деле получается на 4% меньше , чем среднедушевой доход в Пурии.
Подпункты
а)
(5 баллов) Объясните, как возможна такая «парадоксальная» ситуация, при которой среднедушевой доход в каждой из групп в одной стране больше, чем среднедушевой доход в соответствующей группе в другой стране, а при этом среднедушевой доход всей страны оказывается меньше, чем среднедушевой доход другой страны.
б)
(10 баллов) Если взять за основу пример Юного Экономиста, то коэффициент Джини в Ричии окажется равен 0,5. Найдите (для примера Юного Экономиста) коэффициент Джини в Пурии.
Решение
(а) Все дело в том, что среднедушевой доход в стране зависит не только от среднедушевого дохода в каждой группе, но и от долей богатых и бедных в населении страны. Из условия следует, что среднедушевой доход в Ричии находится где-то между 8 (этот доход одного бедного) и 72 (это доход одного богатого). Аналогично, среднедушевой доход в Пурии находится где-то между 5 и 30. Но интервалы (8;72) и (5;30) пересекаются. Если в Ричии относительно много бедных, то среднедушевой доход в ней будет близок к 8. Если в Пурии много богатых, то среднедушевой доход в ней будет близок к 30, и мы как раз получим ситуацию, при которой среднедушевой доход в Пурии будет, «парадоксальным» образом, больше, чем в Ричии. (б) Примечание: данное решение использует известную формулу для коэффициента Джини: если в стране две группы населения и доход распределен между ними равномерно, то $G=x-y$, где $x$ - доля более бедной группы в населении, $y$ - ее доля в общем доходе. Знание этой формулы не обязательно для решения. Найдем из условия о коэффициенте Джини долю бедных в Ричии. Обозначим ее за $\alpha=\frac{n_1}{n_1+n_2}$, где $n_1$ и $n_2$ - количества бедных и богатых в Ричии. Тогда доля дохода бедных в общем доходе равна $$\frac{8n_1}{8n_1+72n_2}=\frac{8\alpha}{8\alpha+72(1-\alpha)}.$$ Значит, коэффициент Джини равен (тут мы пользуемся известной формулой) $G=\alpha-\frac{8\alpha}{8\alpha+72(1-\alpha)}=0,5$. После упрощений это уравнение сводится к квадратному $16\alpha^2-24\alpha+9=0$. Заметим, что в левой части стоит полный квадрат: $(4\alpha-3)^2=0$ , откуда $\alpha=0,75$. Значит, среднедушевой доход в Ричии равен $0,75\cdot 8 +0,25\cdot 72=24$ . Из условия про 4% находим, что среднедушевой доход в Пурии равен $24/0,96=24/(24/25)=25$. Пусть $\beta$ — доля бедных в Пурии. Теперь нетрудно найти и ее: $5\beta+30(1-\beta)=25$ , откуда $\beta=0,2$. Действуя по аналогии с Ричией, получаем, что коэффициент Джини в Пурии равен $$G=\beta-\frac{5\beta}{5\beta+30(1-\beta)}=\frac{1}{5}-\frac{1}{25}=\frac{4}{25}=0,16.$$ Ответ: (a) см. выше; (б) 0,16. Примечание: Заметим, что мы как раз получили, что в Ричии относительно много бедных (75%), а в Пурии мало (20%).