КПВ и дискретный ресурс
Фирма производит два товара, $X$ и $Y$, используя два ресурса: труд ($L$) и капитал ($K$). Общий запас ресурсов на фирме ограничен и составляет 100 единиц труда и 100 единиц капитала. Производственные функции для товаров имеют вид: $X = K_X L_X$, $Y = K_Y L_Y$, где $K_X$, $L_X$ и $K_Y$, $L_Y$ — количества капитала и труда, направленные на производство товаров $X$ и $Y$ соответственно. Фирма стремится максимизировать уровень потребления комплектов, состоящих из одной единицы товара $X$ и двух единиц товара $Y$. При этом количество капитала, выделяемое на каждый товар, может выражаться только целым числом. Определите максимальный уровень потребления таких комплектов.
Решение
Положим $k$ единиц капитала отправляется для производства икса, а $100-k$ единиц для производства игрека. В этом случае $X=kL_X$ или $L_X=X/k$, аналогично $Y=(100-k)L_Y$ или $L_Y=Y/(100-k)$. C учетом $L_X+L_Y=100$ имеем ограничение: $$\frac{X}{k}+\frac{Y}{100-k}=100$$ С учетом $X=Y/2=N$ ($N$ — уровень потребления комплектов) имеем: $$\frac{N}{k}+\frac{2N}{100-k}=100$$ $$N = \frac{100 \cdot k(100-k)}{100 + k}$$ Найдем при каких $k$ потребление от $k$ будет не меньше потребления от $k-1$: $$N(k) \geq N(k-1)$$ $$ \frac{100 \cdot k(100-k)}{100 + k} \geq \frac{100 \cdot (k-1)(100-(k-1))}{100 + (k-1)}$$ $$ \frac{k(100-k)}{100+k} \ge \frac{(k-1)(101-k)}{99+k}$$ Неравенство преобразуется до уровня $k^2 + 199k - 10100 \le 0$. Единственный неотрицательный корень квадратного уравнения $k^2 + 199k - 10100 = 0$: $k = \frac{83.84}{2} = 41,92...$. В этом случае неравенство $k^2 + 199k - 10100 \le 0$ выполняется при $0 < k \le 41$, то есть $N(k) \ge N(k-1)$ при $k \le 41$, значит $N(k)$ возрастает до $k=41$ и переходить до $k=42$ не выгодно, так как $N(42) < N(41)$. Откуда получаем ответ: $$ N(41)=\frac{100 \cdot 41(100-41)}{100 + 41}=1715\frac{85}{141} $$ Ответ: 1715+85/141