3. Торговля свежим хлебом
В одном сибирском округе есть железнодорожная станция, от которой отходит прямая проселочная дорога. Через 5 километра по дороге стоит село A, еще через 3 километра — село B и еще через 3 километра — село C. В каждом селе живут 20 человек. От станции до последнего села часто ходит маршрутка, проезд в которой стоит 1 рубль за километр. Маршрутка может останавливаться в любом месте для посадки и высадки пассажиров. Каждый житель сёл любит свежий хлеб (и не ест вчерашний) и съедает в день 1 буханку хлеба. Когда выпускник РЭШ Федор оказался в этих местах, он узнал, что каждый житель ездит сам за хлебом на маршрутке до станции, где тот продается по 15 рублей за буханку. Федор решил помочь жителям сёл с доставкой хлеба. Хитрый выпускник РЭШ нашел небольшой фургончик и решил доставлять хлеб в точку $S$, расположенную на проселочной дороге. Оценив спрос, каждое утро он будет закупать хлеб в магазине на станции, везти его до точки $S$, там продавать всем желающим, а вечером везти пустой фургон обратно на станцию. Расходы на бензин составляют 0,5 рубля за километр пути. Считайте, что жители сёл принимают решение о покупке хлеба исключительно на основании минимизации расходов (цена хлеба плюс расходы на проезд на маршрутке), а при равенстве расходов предпочитают покупать хлеб у Фёдора, а не в магазине. В какой точке дороги Федору нужно поставить фургон и по какой цене продавать хлеб, если он хочет получить максимальную прибыль (разницу между выручкой от продажи и затратами на закупку хлеба и на бензин)?
Решение
Рассмотрим 3 ситуации: 1. Фургон поставят на отрезке [0,5]. 2. На отрезке [5, 8]. 3. На отрезке [8, 11]. Расходы на покупку хлеба в магазине на станции для жителя села А составит $2 \times 5+15=25$ рублей, для жителя села В $2 \times 8+15=31$ рубль, для жителя села С $2 \times 11+15=37$ рублей. 1. Пусть фургон поставлен в точке X отрезка [0,5]. Тогда трата на дорогу до фургона жителя села А составит $(5-X) \times 2$, для жителя села В $(8-X) \times 2$ для жителя села С $(11- X) \times 2$. При цене хлеба p, условие покупки хлебом для жителя села А: $10 − 2X+p \le 25$, для села B $16 − 2X + p \le 31$, для села C $22 − 2X + p \le 37$. Все три неравенства соответствуют $p \le 15 + 2X$. Таким образом, либо все три села закупаются у Федора либо все три села покупают на станции. Федор, максимизируя прибыль, установит максимальную цену т.е. $p = 15 + 2X$. Издержки на доставку хлеба до точки X составят $0,5\times 2 \times X$, затраты на закупку хлеба $60 \times 15$. Выручка Федора составит $Q \times P-TC=60 \times (15+2X)−60 \times 15−X=119X$. Очевидно, что поставить фургон надо в точке $5$ (село A). Прибыль составит $585$ рублей в день при цене $25$ рублей за батон 2. Пусть фургон поставлен в точке Х отрезка [5, 8]. Тогда трата на дорогу до фургона жителя села А составит $(Х-5)\times 2$, для жителя села В $(8-Х)\times 2$ для жителя села С $(11- Х)\times 2$. При цене хлеба p, условие покупки хлебом для жителя села А: $2X − 10 + p \le 25$, для села B $16−2Х+p\le31$, для села С $22−2Х+p\le37$. Второе и третье уравнение по-прежнему соответствуют $p \le 15 + 2Х$. Первое соответствует $ p \le 35 − 2Х$. Если Федор хочет продавать всем трем селам, то сложив два неравенства получим $p \le 25$. При условии, что Федор максимизирует прибыл, он назначит цену $25$, при этом $Х=5$. Прибыль этого варианта рассчитана в пункте $1$ и составляет $585$ рублей. Если мы хотим назначить цену выше $25$, то покупать буду только дальние села (В и С), при этом прибыль будет $40(15+2Х)-40\times 15-Х=79Х$, но Х уже может быть равно $8$, что дает прибыль $632$ рубля, т.е. фургон выгодней поставить в селе B, обеспечивая хлебом только два дальних села. 3. Пусть фургон поставлен в точке Х отрезка [8, 11]. Тогда трата на дорогу до фургона жителя села А составит $(Х-5)\times 2$, для жителя села В $(Х-8) \times 2$ для жителя села С $(11-Х)\times 2$. При цене хлеба $p$, условие покупки хлебом для жителя села А: $2Х − 10 + p \le 25$, для села B $2Х − 16 + p \le 31$, для села С $22 − 2Х + p \le 37$. Заметим, что первое неравенство $p \le 35 − 2Х$ сильнее чем второе, $p \le 47 − 2Х$, т.е. если не выгодно ехать из села B, то тем более не выгодно ехать из села А. Предположим, что Федор хочет продавать всем трем селам. Тогда второе максимальная цена, при которой участвует первое село – $19$ рублей. Ставить ниже цену (и соответственно везти фургон с хлебом дальше) смысла нет, так как количество покупателей это не увеличит, зато уменьшит цену и увеличит затраты на доставку. Очевидно, этот вариант хуже, чем продавать в селе А тому же количеству но по цене $25$ рублей. Предположим Федор хочет удержать два села (В и С). Сложив неравенства $p \le 47 − 2Х$ и $p \le 15 + 2Х$ получим что $p \le 31$ при этом максимальная цена достигается в точке $8$. Это соответствует решению пунта $1$ (прибыль $632$ рубля). Пусть Федор хочет продавать только в селе С: $Q\times P−TC=20\times 15+2Х −20\times 15−Х=39Х$ Тогда прибыль составит $429$ рублей (фургон едет до самого конца – в село С), что хуже чем продажа в селе А или в селе В. Таким образом, Федор будет везти свой фургон в село B и продавать хлеб жителям сел В и С по цене $31$ рубль, получая прибыль $632$ рубля в день. Критерии Сколько стоит хлеб для каждого жителя – 1 балл Идея + твердое (математическое или логическое) обоснование, почему при расположении точки продажи правее какого либо села выгоднее отказаться от обслуживания жителей этого села – 7 баллов. За слабое обоснование баллы снижались. Если делалось утверждение, что продавать нужно только в городах, без каких либо объяснений – 0 баллов. Корректный расчёт прибыли в каждом из городов – 4 балла. Отдельно снижалось на 1 балл если решение было просто сделано перебором по 1 километру в каждой точке без обоснования почему выгодней двигаться дальше. За неучет затрат на обратную дорогу у сельчан снималось 2 балла