Задача 1 ОЧ-2015 (11 класс)
Население некоторого острова составляет ровно n человек. Самый бедный получает 0,01% всего дохода страны. Доход следующего жителя выше дохода предыдущего ровно на 0,02 процентных пункта. Найдите коэффициент Джини в данной стране. Правитель данного острова, который, безусловно, является самым богатым жителем, убежден, что высокое неравенство вредит экономике острова в долгосрочном периоде. Однако в текущий момент времени, как вы уже, наверное, посчитали, ему принадлежит лишь малая часть доходов. Правитель раздумывает законным способом отнять часть доходов у своего населения. Если это произойдет, и правитель попытается нарушить сложившееся распределение доходов, возмущенное несправедливостью население немедленно объединится в одну партию. После присвоения правителем части доходов населения объединенная партия разделит оставшиеся доходы поровну между n−1 членом партии. Функцию полезности правителя можно охарактеризовать следующим уравнением: $$U(G;a)=10(a+1)-1000G^{2},$$ где G - коэффициент Джини на острове, выраженный в долях; a – доля доходов правителя в общем доходе острова, выраженная в процентах (5%, а не 0.05, например). Определите долю доходов правителя, которая максимизирует его уровень полезности. Захочет ли правитель ограбить население и присвоить часть его дохода? Если да, то какую долю дохода он присвоит? Примечание: $$1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+n^{2}=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$
Решение
1. Определим, сколько человек живет на острове. Пусть $a_{i}$ – доля (в %) дохода i-ого островитянина в общей доле доходов острова. Используя формулу n-ого члена арифметической прогрессии $(a_{n}=a_{1}+d(n-1))$, а также очевидный факт, что сумма всех долей жителей должна составлять 100% получаем систему уравнений: $$
\begin{cases} a_{n}=0.01+0.02(n-1)\\ \dfrac{0.01+a_{n}}{2}n=100\\ \end{cases}
$$ Решая, которую получаем, что $n=100, a_{100}=1,99%.$ 2. Вычисление индекса Джини. Каждый индивид образует группу, которая составляет 1% в общей численности населения. Доли доходов индивидов соответственно равны : 0,01%; 0,03%; 0,05%…1,97%;1,99%. Накопленные доли доходов тогда равны: 0,01%; 0,01%+0,03% ;0,01%+0,03%+ 0,05%; …;…1,97%+1,99%. Вычислим площадь под кривой Лоренца (S), которая состоит из одного треугольника и 99 трапеций: $S=12\times[1\times0,01+1\times(0,01+(0,01+0,03))+1\times((0,01+0,03)+ (0,01+0,03+0,05))+⋯ ]$ Выражение в квадратных скобках можно преобразовать следующим образом: каждая из долей 0,01%; 0,03%; 0,05%…1,97%;1,99% входит в него 1 раз (когда появляется впервые) плюс число раз, равное удвоенному количеству скобок, в которые она входит после первого своего появления. Поэтому: $$[…]=0,01(1+2∗99)+0,03(1+2∗98)+0,05(1+2∗97)+⋯+1,97(1+2∗1)+1,99$$ $$0,01+0,03+⋯+1,99=100$$ $$2(0,01∗99+0,03∗98+⋯1,97∗1)=$$ $$=2(0,01∗99+(0,01+0,02)∗98+⋯(0,01+0,02∗98)∗1)$$ $$0,01∗(99+98+⋯+1)=1+992∗99∗0,01$$ $$0,02∗(98+97+⋯+1)=1+982∗98∗0,02$$ $$0,02∗(97+96+⋯+1)=1+972∗97∗0,02$$ $$...$$ $$[…]=2∗(−0,01∗1+992∗99+0,02∗12∗[(1+99)∗99+(1+98)∗98+⋯+(1+1)∗1])=$$ $$=2(−0,01∗1+992∗99+0,01(1+992∗99+(992+982+⋯+12))=$$ $$=2∗(992+982+⋯+12)=33∗199$$ Итак, $S=12∗(33∗199+100).$ Тогда коэффициент Джини равен $G=1-\dfrac{S}{0.5\times100\times100}=0.3333.$ 3. Стоит ли правителю что-либо менять? Напомним, что a – доля доходов правителя в общем доходе острова. После объединения $99$ человек в одну партию и равномерного распределения доходов между ее членами правитель останется наиболее богатым на острове. Поэтому индекс Джини теперь будет равен: $S=12∗99∗(100−a)+12∗1∗(100−a+100)=5050−50a$ - сумма площади треугольника с катетами $99$ и $(100-a)$ и площади трапеции с основаниями $(100-a)$ и $100$. $$ G=1-\dfrac{S}{0.5\times100\times100}=\dfrac{a-1}{100} $$ Тогда функция полезности правителя будет равна: $U=10(a+1)-1000\times\left(\dfrac{a-1}{100}\right)^{2}$ Максимум этой функции достигается при $a=51%$. И полезность будет равна $U=517,5$ Полезность до действий правителя была равна $U=−81,18889$. Сравнивая полезности, получаем, что правителю выгодно нарушить существующее распределение доходов (точное значение функции полезности вычислять необязательно, можно просто сказать, что выражение $10∗(1,99+1)−1000∗0,33332<517,5$).
\begin{cases} a_{n}=0.01+0.02(n-1)\\ \dfrac{0.01+a_{n}}{2}n=100\\ \end{cases}
$$ Решая, которую получаем, что $n=100, a_{100}=1,99%.$ 2. Вычисление индекса Джини. Каждый индивид образует группу, которая составляет 1% в общей численности населения. Доли доходов индивидов соответственно равны : 0,01%; 0,03%; 0,05%…1,97%;1,99%. Накопленные доли доходов тогда равны: 0,01%; 0,01%+0,03% ;0,01%+0,03%+ 0,05%; …;…1,97%+1,99%. Вычислим площадь под кривой Лоренца (S), которая состоит из одного треугольника и 99 трапеций: $S=12\times[1\times0,01+1\times(0,01+(0,01+0,03))+1\times((0,01+0,03)+ (0,01+0,03+0,05))+⋯ ]$ Выражение в квадратных скобках можно преобразовать следующим образом: каждая из долей 0,01%; 0,03%; 0,05%…1,97%;1,99% входит в него 1 раз (когда появляется впервые) плюс число раз, равное удвоенному количеству скобок, в которые она входит после первого своего появления. Поэтому: $$[…]=0,01(1+2∗99)+0,03(1+2∗98)+0,05(1+2∗97)+⋯+1,97(1+2∗1)+1,99$$ $$0,01+0,03+⋯+1,99=100$$ $$2(0,01∗99+0,03∗98+⋯1,97∗1)=$$ $$=2(0,01∗99+(0,01+0,02)∗98+⋯(0,01+0,02∗98)∗1)$$ $$0,01∗(99+98+⋯+1)=1+992∗99∗0,01$$ $$0,02∗(98+97+⋯+1)=1+982∗98∗0,02$$ $$0,02∗(97+96+⋯+1)=1+972∗97∗0,02$$ $$...$$ $$[…]=2∗(−0,01∗1+992∗99+0,02∗12∗[(1+99)∗99+(1+98)∗98+⋯+(1+1)∗1])=$$ $$=2(−0,01∗1+992∗99+0,01(1+992∗99+(992+982+⋯+12))=$$ $$=2∗(992+982+⋯+12)=33∗199$$ Итак, $S=12∗(33∗199+100).$ Тогда коэффициент Джини равен $G=1-\dfrac{S}{0.5\times100\times100}=0.3333.$ 3. Стоит ли правителю что-либо менять? Напомним, что a – доля доходов правителя в общем доходе острова. После объединения $99$ человек в одну партию и равномерного распределения доходов между ее членами правитель останется наиболее богатым на острове. Поэтому индекс Джини теперь будет равен: $S=12∗99∗(100−a)+12∗1∗(100−a+100)=5050−50a$ - сумма площади треугольника с катетами $99$ и $(100-a)$ и площади трапеции с основаниями $(100-a)$ и $100$. $$ G=1-\dfrac{S}{0.5\times100\times100}=\dfrac{a-1}{100} $$ Тогда функция полезности правителя будет равна: $U=10(a+1)-1000\times\left(\dfrac{a-1}{100}\right)^{2}$ Максимум этой функции достигается при $a=51%$. И полезность будет равна $U=517,5$ Полезность до действий правителя была равна $U=−81,18889$. Сравнивая полезности, получаем, что правителю выгодно нарушить существующее распределение доходов (точное значение функции полезности вычислять необязательно, можно просто сказать, что выражение $10∗(1,99+1)−1000∗0,33332<517,5$).