Равенство через налоги
В правительстве заметили, что для каждого гражданина страны выполняется такая закономерность: средний доход тех, кто богаче данного гражданина, превышает средний доход тех, кто его беднее, на величину $ay$, где $y$ – средний душевой доход, $a$ – некоторая положительная константа.
Подпункты
а)
Докажите, что коэффициент Джини в этой стране не превышает $1/3$.
б)
Докажите, что в условиях совершенной информации правительство может добиться полного равенства доходов, перераспределив между гражданами страны не более $1/4$ национального дохода посредством налогов и трансфертов. Математическая справка: неопределённый интеграл от степени: $\int x^n\,dx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$; формула Ньютона–Лейбница: если $F'(x)=f(x)$, то $\int_{a}^{b} f(x)\,dx=F(b)-F(a)$. Задача вошла в Олимпиаду Вечерней школы IES 2020–21.