Шедевр

(а) Первый этап. Поиск параметров функции спроса (6 баллов) Пусть обратная функция спроса задана уравнением $P = a - bQ$ . Первый способ: Из спроса находим $MR = a - 2bQ$ . Спрос задается линейной функцией (MR убывает), а MC постоянны, значит, условие $MR = MC$ даст максимум. Оптимальный выпуск, равный 18, удовлетворяет этому уравнению, откуда $a - 2b \cdot18 = 10$ . Второй способ нахождения этого условия в том, чтобы составить функцию прибыли: $Pr = (a-bQ)Q-10Q$. Это парабола с ветвями вниз, значит, её вершина является максимумом прибыли. Можно приравнять к 0 её производную или найти ответ по формуле вершины параболы, в итоге получим уравнение: $a - 2b \cdot18 = 10$ . Рассуждения по любому из этих способов оцениваются в 4 балла , из которых 1 балл — обоснование того, что найденная точка является максимумом (убывание MR при постоянстве MC, или рисунок, или вторая производная отрицательна, или ветви параболы вниз). Если допущена арифметическая ошибка, снимается 1 балл, при этом дальнейшее решение оценивается исходя из функции спроса, полученной участником. При этом цена равна 100, так что $a - b \cdot 18 =100$ (1 балл) Получаем систему уравнений: $\begin{cases} a-36b=10\\ a-18b=100 \end{cases}$ . Решая её, находим $a = 190 , b = 5$ (1 балл за решение системы) Значит, спрос описывается уравнением $P = 190 - 5Q$, а $ MR =190- 10Q$ Второй этап. Поиск точки максимума выручки (4 балла) Первый способ: Поскольку MR — убывающая функция, максимум выручки достигается там, где $MR = 0$, то есть при $Q = 19$. Второй способ: Выручка задается функцией: $TR(Q)=P(Q)\cdot Q=190Q-5Q$ 2 . Это квадратичная парабола с ветвями вниз, значит, ее вершина будет максимумом выручки. Её можно найти по формуле вершины параболы или приравниванием производной к 0, получим $ Q = 19$. Рассуждения по любому из этих способов оцениваются в 3 балла , из которых 1 балл — обоснование того, что найденная точка является максимумом (убывание MR, или рисунок, или вторая производная отрицательна, или ветви параболы вниз). Политика относительно арифметических ошибок: Если на втором этапе решения допущена арифметическая ошибка, в результате которой объем выпуска получился нецелым (что противоречит смыслу задачи) и участник ничего с этим не сделал, то снимается 2 балла из 3. Если в результате арифметической ошибки, допущенной на втором этапе решения, получился целочисленный объем выпуска, или же участник, получив нецелый объем, любым способом показал, что он понимает противоречие своего результата условию, то снимается 1 балл из 3. Если арифметическая ошибка была допущена на первом этапе решения (и там за нее был снят 1 балл), а второй этап был выполнен (с учетом этой ошибки) правильно, то на втором этапе 1 балл снимается только в том случае, если участник получил нецелый объем выпуска и проигнорировал это несоответствие. Значит, цена в точке максимума выручки равна $190-5\times19 = 95$ . (1 балл за подсчет ответа) (б) Уничтожение формы убедило заказчиков в том, что приобретенные ими статуи будут в будущем цениться высоко. Действительно, если бы форма не была уничтожена, то в будущем могли быть отлиты новые экземпляры (это вероятно, учитывая то, что не весь спрос был удовлетворен после того как были отлиты 18 экземпляров). Это сделало бы данную работу скульптора менее редкой и снизило бы ее цену в будущем. Уничтожив форму, скульптор сделал предложение статуй на вторичном рынке заведомо ограниченным, что сделало покупку статуи более выгодным вложением денег в глазах покупателей. Это увеличило их готовность платить, а значит, и прибыль скульптора. Каждый экземпляр скульптуры тем более ценен для покупателей, чем меньше всего таких экземпляров — 3 балла Повышение ценности и готовности платить за скульптуры (рост спроса) увеличивает прибыль продавца — 2 балла