Кубический Лоренц

Пусть кривая Лоренца $L(x)$ описывается кубическим многочленом и проходит через точку $\left(\tfrac12,\tfrac18\right)$. По определению кривой Лоренца выполняются условия $$ L(0)=0, \qquad L(1)=1, $$ а также $L(x)$ неубывающая и выпуклая на отрезке $[0,1]$. а) Найдём коэффициент Джини. Рассмотрим общий вид кубического многочлена: $$ L(x)=ax^3+bx^2+cx+d. $$ Из условий $L(0)=0$ и $L(1)=1$ получаем $$ d=0, \qquad a+b+c=1. $$ Из условия $$ L\!\left(\tfrac12\right)=\tfrac18 $$ следует $$ \frac{a}{8}+\frac{b}{4}+\frac{c}{2}=\frac18, $$ или, после умножения на $8$, $$ a+2b+4c=1. $$ Вычитая уравнение $a+b+c=1$, получаем $$ b+3c=0 \quad \Rightarrow \quad b=-3c, $$ $$ a=1-b-c=1+2c. $$ Следовательно, все кубические кривые Лоренца, проходящие через заданные точки, имеют вид $$ L(x)=(1+2c)x^3-3cx^2+cx. $$ Коэффициент Джини равен $$ G=1-2\int_0^1 L(x)\,dx. $$ Вычислим интеграл: $$ \int_0^1 L(x)\,dx =\frac{1+2c}{4}-c+\frac{c}{2} =\frac14, $$ что не зависит от параметра $c$. Отсюда $$ G=\frac12. $$ б) Теперь попробем найти значение коэффициента $c$, чтобы определить точный вид кривой Лоренца. Кривая выпукла на $[0,1]$, значит $$ L''(x)=6ax+2b\ge 0 \quad \forall x\in[0,1]. $$ В частности, при $x=0$: $$ 2b\ge 0 \quad\Rightarrow\quad b\ge 0. $$ С учётом $b=-3c$ из пункта а): $$ -3c\ge 0 \quad\Rightarrow\quad c\le 0. \tag{1} $$ Кривая Лоренца неубывающая, следовательно, $$ L'(x)\ge 0 \quad \forall x\in[0,1]. $$ В частности, $$ L'(0)\ge 0. $$ $$ L'(x)=3ax^2+2bx+c, \quad\Rightarrow\quad L'(0)=c. $$ Отсюда: $$ c\ge 0. \tag{2} $$ Из (1) и (2) получаем: $$ c=0. $$ Тогда: $$ b=0,\qquad a=1. $$ Следовательно, единственная возможная кривая Лоренца $L(x)=x^3$. Ответ: а) $G=0.5$ б) $y=x^3$