Комбайн
Фермер владеет двумя полями, на которых можно выращивать две давно полюбившиеся олимпиадникам культуры — Икс ($X$) и Игрек ($Y$). Информация о полях приведена в таблице (сверь цифры): $$\begin{array}{|l|c|c|c|}\hline \text{Поле} & \text{Площадь, га} & \text{Урожайность X} & \text{Урожайность Y} \\\hline \text{Первое} & 10 & 1 & 2 \\\hline \text{Второе} & 20 & 2 & 1 \\\hline \end{array}$$ Под урожайностью понимается количество соответствующего продукта (в тоннах), которое можно получить с одного гектара посевов в конце сезона, длящегося 100 дней. Фермер может разделить каждое поле между двумя культурами в любой пропорции.
Подпункты
а)
(5 баллов) Постройте кривую производственных возможностей фермера в координатах $(X;Y)$.
б)
(15 баллов) Фермер задумывается о покупке нового комбайна, использование которого позволит увеличить урожайность культуры $Y$. Если комбайн проработает на некотором поле $t $ дней, урожайность культуры $Y$ на этом поле увеличится на $(0{,}02\times t)$ т/га. Комбайн не может работать на двух полях одновременно, и если фермер купит его, то он сможет распределять время работы комбайна между полями в любой пропорции (в частности, $t$ не обязательно целое число). Какова будет КПВ фермера, если он приобретет комбайн?
Решение
а) Это стандартная задача сложения двух линейных КПВ. КПВ на первом поле описывается уравнением $Y=20-2X$, на втором поле — уравнением $Y=20-0{,}5X$ . Складывая эти две КПВ, получаем картинку: б) Зафиксируем то, как фермер засеял поля. Ключевое наблюдение (лемма): заметим, что как бы фермер ни засеял поля, объем производства Игрека максимален, если комбайн работает все 100 дней только одном из полей (на каком именно — может зависеть от того, как засеяны поля). Доказательство леммы: Пусть под Игрек отведено $S_1$ гектар на первом поле и $S_2$ гектар на втором поле. Обозначим за t время работы комбайна на первом поле (время работы на втором поле равно $100-t$). Тогда общий объем производства Игрека будет равен: $$Y(t)=(2+0{,}02t)S_1+(1+0{,}02(100-t))S_2=2S_1+3S_2+0{,}02(S_1-S_2)t $$ Заметим, что $Y(t)$ является линейной функцией и $t\in[0;100]$. Если коэффициент при $t$ положителен, то функция достигает максимума при $t=100$ (то есть оптимально отправить комбайн на весь срок на первое поле). Если коэффициент при отрицателен, функция достигает максимума при $t=0$ (оптимально отправить комбайн на весь срок на второе поле). Если коэффициент при $t$ равен 0, то функция является константой, и любое значение t является оптимальным (в том числе, $t=0$ и $t=100$). Лемма доказана. Зафиксируем теперь некое значение $t$. Тем самым мы зафиксировали урожайность Игрека на двух полях. Поэтому для каждого $t$ мы можем построить КПВ фермера по аналогии с пунктом а). Для каждого $t$ мы получим некоторую кусочно-линейную функцию КПВ(t). КПВ(0) и КПВ(100) доступны фермеру и потому искомая КПВ лежит не ниже , чем верхняя огибающая этих двух КПВ. С другой стороны. доказанная лемма означает, что любая КПВ(t) лежит не выше , чем верхняя огибающая этих двух КПВ. Значит, ответом будет верхняя огибающая КПВ(0) и КПВ(100). На данной картинке КПВ(0) изображена сплошной линией, а КПВ(100) — пунктиром. Итоговым ответом будет верхняя огибающая двух КПВ: Для справки: эта КПВ описывается уравнением: $$Y=\begin{cases} 80-1{,}5X, & \text{если } X\le 20, \\ 60-0{,}5X, & \text{если } 20< X\le 40,\\ 200-4X, & \text{если } X>40 \end{cases}$$ Примечание: Если бы прирост урожайности зависел от $t$ нелинейно, фермеру, возможно было бы оптимально в некоторых случаях направлять комбайн на оба поля в течение одного сезона, и потому искомая КПВ лежала бы выше, чем верхняя огибающая КПВ(0) и КПВ(100).