Ассортимент при ограниченных финансовых возможностях
Фирма является единственным производителем товаров $X$ и $Y$. Издержки производства товара $X$ описываются функцией $TC(X)=10X+5$, где $X$ — количество товара $X$. Издержки производства товара $Y$ равны $TC(Y)=15Y+10$, где $Y$ — количество товара $Y$. Известны обратные функции спроса на эти продукты: $P_X=20-X$, $P_Y=75-2Y$
Подпункты
а)
Какое количество каждого товара будет выпускать фирма, максимизирующая прибыль, если ее финансовые возможности ограничены суммой 300 ден. ед., и в пределах этой суммы затрат ее производственные возможности позволяют выпускать любые сочетания $X$ и $Y$?
б)
Экономический кризис привел к сокращению возможностей фирмы. Теперь на финансирование производства она может потратить не более 205 ден. ед. Какое количество $X$ и $Y$ следует теперь производить фирме, чтобы получить максимальную прибыль?
Решение
А) (15 баллов за пункт) Прежде всего, полезно определить оптимальный выпуск фирмы при отсутствии финансовых ограничений, чтобы выяснить, являются ли финансовые возможности фирмы лимитирующим фактором. Так как товары X и Y производятся независимо друг от друга, то фирма получит максимум прибыли в том случае, если будет максимальна прибыль от каждого продукта. Поскольку функция прибыли для каждого продукта – парабола ветвями вниз, то: $\begin{cases} MR(X)=MC(X) \\ MR(Y)=MC(Y) \end{cases} \rightarrow \begin{cases} 20-2X=10 \\ 75-4Y=15 \end{cases} \rightarrow \begin{cases} X=5 \\ Y=15 \end{cases}$ TC(X=5,Y=15)=10∙5+5+15∙15+10=290 То есть для производства оптимального набора, максимизирующего прибыль, необходимо 290 ден. ед., а не 300. Значит, финансовые ресурсы в данном случае не являются лимитирующими. Б) (10 балов за пункт) В данном случае нужно маскимизировать прибыль при ограниченных финансовых возможностях: $\begin{cases} π=(20-X)X+(75-2Y)Y-10X-5-15Y-10→max \\ TC=10X+5+15Y+10=205 \end{cases}$ $\begin{cases} π=10X-X^2+60Y-2Y^2-15→max & \\10X+15Y=190 & (1) \end{cases}$ Из ограничения (1): X=19-1.5Y Подставим в целевую функцию и найдем ее максимум: $π=190-15Y-(19-1.5Y)^2+60Y-Y^2-15=(175-361)+102Y-4.25Y^2$ $dπ/dY=102-8.5Y=0$ Y=12 X=1 Ответ: а) 5 единиц товара Х и 15 единиц товара Y; б) 1 единица товара Х и 12 единиц товара Y.