Спринтеры
Два ученика легкоатлетической школы олимпийского резерва, Аристарх и Платон, решили устроить между собой неофициальное соревнование — кто из них будет лучше бегать стометровку в течение летнего сезона. Их тренер Владимир Петрович сообщил, что в течение сезона ожидается 5 контрольных забегов, на каждом из которых будет фиксироваться время финиша Аристарха $(a_1, \ldots, a_5)$ и Платона $(p_1, \ldots, p_5)$, где $a_i> 0$, $p_i>0$ — время финиша Аристарха и Платона на i -м забеге соответственно, $i=1, \ldots, 5$. Спортсмены задумались, как им определить по этим результатам, кто из них лучше бегает. Предлагается 4 схемы. Аристарх предлагает посчитать среднее арифметическое результатов и сравнить их. Платон считает, что справедливо было бы сравнивать между собой только лучшее время Аристарха и Платона. Владимир Петрович предлагает попробовать систему, похожую на систему оценок в прыжках в воду: отбросить лучший и худший результат каждого, а оставшиеся результаты сравнить по среднему арифметическому. Жена Владимира Петровича Елена Никифоровна, узнав о споре, тоже предложила свою систему сравнения результатов. Она предлагает после каждого забега рассмотреть разность результатов атлетов на этом забеге (время Аристарха минус время Платона) и прибавить ее к разнице, накопленной за предыдущие забеги. Если после 5 забегов эта накопленная разность будет положительной, то выиграл Платон, если отрицательной — Аристарх, а если нулевой, то ничья. Будем говорить, что две системы сравнения результатов эквивалентны , если для любого возможного набора результатов $(a_1, \ldots, a_5)$ и $(p_1, \ldots, p_5)$, обе системы отдают первенство одному и тому же участнику. Какие из четырех приведенных систем сравнения результатов эквивалентны, а какие — нет? Для каждой пары либо докажите эквивалентность, либо приведите контрпример.
Решение
Покажем сначала, что первый и четвертый способы сравнения результатов эквивалентны. Пусть $a_1, \ldots, a_5$ — результаты Аристарха, а $p_1, \ldots, p_5$ — результаты Платона. Разность сравниваемых величин при использовании первой схемы равна $$ \frac{a_1+\ldots+a_5}{5}-\frac{p_1+\ldots+p_5}{5}=\frac{1}{5}\cdot \left((a_1-p_1)+\ldots+(a_5-p_5)\right). $$ Но последняя сумма — это ровно одна пятая от накопленной разности результатов, используемой в четвертой схеме сравнения, а значит она принимает тот же самый знак. Следовательно, при любом наборе результатов забегов первая и четвертая схемы определят одного и того же победителя . Чтобы доказать, что две схемы неэквиваленты, приведем набор результатов, на котором эти схемы отдают предпочтение разным участникам. 1) Первая и вторая схемы неэквивалентны. Пусть $$ a_1=a_2=a_3=a_4=a_5=10, \quad p_1=p_2=p_3=10, \quad p_4=9,9, \quad p_5=11. $$ Тогда при использовании первой схемы сравнения результатов победит Аристарх, а при второй — Платон. 2) Первая и третья схемы неэквивалентны. Положим $$ a_1=a_2=a_3=a_4=a_5=10, \quad p_1=p_2=10, \quad p_3=p_4=9,9, \quad p_5=11. $$ Тогда при использовании первой схемы сравнения результатов победит Аристарх, а при третьей — Платон. 3) Вторая и третья схемы неэквивалентны. Рассмотрим набор результатов $$ a_1=a_2=a_3=a_4=a_5=10, \quad p_1=p_2=10, \quad p_3=9,9, \quad p_4=p_5=11. $$ Тогда при использовании второй схемы сравнения результатов победит Платон, а при третьей — Аристарх. Поскольку первая схема эквивалентна четвертой и не эквивалентна никакой другой, то четвертая схема не эквивалентна ни второй, ни третьей схеме. Ответ: Единственная пара эквивалентных схем — 1 и 4.