Производство с изломами
Фирма, организующая занятия экономикой в городе Старосуздале, использует в своем производстве только труд преподавателей, которых она нанимает на совершенно конкурентном рынке труда. Наняв $L\le 4$ человеко-часов, фирма может научить $Q=L^2$ учеников, далее при найме каждой следующей единицы труда общий продукт растет на 2 единицы, и так продолжается до 8 единиц труда включительно. При $L>8$ преподаватели мешают друг другу, обсуждая сплетни в учительской, поэтому каждая дополнительно нанятая единица труда уменьшает общий продукт на 1 единицу. Цена готового продукта равна 2.
Подпункты
а)
Составьте производственную функцию фирмы, то есть ответ на вопрос, чему равен общий продукт фирмы $Q$ в зависимости от $L$ (для всех $L\ge 0$; учтите, что $L$ может измеряться не только целыми числами, если преподаватели работают нецелое число часов).
б)
Как прибыль фирмы зависит от $L$ при уровнях заработной платы $w=2$ и $w=5$? Составьте функции и схематично изобразите их графики.
в)
Сколько преподавателей будет нанято при заработной плате 2? При заработной плате 5?
Решение
а) $$Q(L)=\begin{cases}L^2,\\16+2(L-4),\\24-(L-8),\end{cases}= \begin{cases}L^2, \text{если $L\le 4$;}\\8+2L, \text{если $4 8$.}\end{cases}$$ б) $$\pi(L)= \begin{cases}2L^2-wL, \text{если $L\le 4$;}\\16+4L-wL, \text{если $4 8$.}\end{cases}$$ Подстановкой значений зарплаты получаем функции прибыли. Графики для $w=2$ и $w=5$ представлены на рисунках. в) По графикам можно определить, что $L^*(w=2)=8$, $L^*(w=5)=4$. Можно определить это без графиков. При $L\le 4$ функция прибыли — парабола ветвями вверх , поэтому максимум там будет или в левом углу, или в правом. Легко убедиться, что в обоих случаях $\pi(4)>\pi(0)$, так что нанять следует как минимум 4 рабочих. На следующем участке при зарплате 2 функция возрастает (значит, надо нанимать как можно больше рабочих в рамках этого участка), а при зарплате 5 — убывает (значит, больше рабочих нанимать не нужно, если только дальше где-нибудь не будет драматического роста прибыли). После $L=8$ функция прибыли убывает, значит, больше работников не нужно нанимать.