Аннуитет Ерофея (advanced)
Ерофей взял в «Бета-банке» кредит на сумму $B$ на срок 12 месяцев по ставке $(100r)$ % в месяц. Договор предусматривает погашение кредита по популярной аннуитетной схеме: в конце каждого месяца банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на $(100r)$ %), а затем Ерофей переводит в банк некий фиксированный платеж. Банк рассчитал, что, для того чтобы долг был полностью выплачен за 12 месяцев, этот платеж должен равняться $X$.
Подпункты
а)
Выразите $B$ через $X$ и $r$.
б)
В конце третьего месяца Ерофей неожиданно получил на работе премию и решил погасить часть кредита досрочно. При досрочном погашении банк производит перерасчет платежа, который заемщик должен будет ежемесячно вносить в оставшиеся месяцы. Какую сумму Ерофей должен вернуть банку (помимо $X$) в конце третьего месяца, чтобы в месяцы с 4-го по 12-й платить не $X$, а $Y$, где $Y < X$? Ответ выразите через $X$, $Y$ и $r$.
Решение
а) (12 баллов за пункт) Обозначим сумму долга Ерофея в конце месяца i за $D_i. D_1=(1+r)B-X; D_2=(1+r)D_1-X=(1+r)^2 B-(1+r)X-X;D_3=(1+r)D_2-X=(1+r)^3 B-(1+r)^2 X-(1+r)X-X$. Заметив закономерность, получаем, что $D_{12}=(1+r)^{12} B-(1+r)^{11} X-\ldots-(1+r)X-X.$ (10 баллов) C другой стороны, D_12=0. (1 балл) Выражая из этого уравнения B, получаем, что $B=\frac{X}{(1+r)}+\frac{X}{(1+r)^2} +⋯+\frac{X}{(1+r)^{12}}$. (1 балл) Иными словами, первоначальная сумма долга равна приведенной стоимости всех будущих платежей по кредиту. Сумму, стоящую в правой части, можно свернуть по формуле суммы геометрической прогрессии. Окончательно получаем, что $B=\frac{X}{r}(1-\frac{1}{(1+r)^{12}})$. б) (13 баллов за пункт) Обозначим сумму, которую заемщик возвращает досрочно, за Z. Заплатив Z в конце третьего месяца, заемщик в замен получает экономию (X-Y) в платежах, которые он будет делать в месяцы с 4-ый по 12-ый. Таким образом, ситуация эквивалентна тому, что банк в начале четвертого месяца берет у Ерофея «кредит» в размере Z, который он затем возвращает Ерофею по аннуитетной схеме с ежемесячным «платежом» X-Y. Ставка «кредита» по-прежнему равна (100r)% в месяц, а срок «кредита» составляет 9 месяцев. Формулу, выражающую сумму кредита через размер платежа и ставку процента, мы уже нашли в пункте (а); необходимо только заменить в ней X на (X-Y), B на Z и 12 на 9. Таким образом, $Z=\frac{X-Y}{r} \left(1-\frac{1}{(1+r)^9}\right).$