Где построить стадион?
В стране, имеющей форму отрезка $[0; 1]$, есть города $А(0), Б(0,25), В(0,5), Г(0,75), Д(1)$ (в скобках указана координата точки на отрезке, в которой находится город). В городе А проживает 1 миллион человек, в Б — 2 миллиона, в В — 3 миллиона, в Г — 4 миллиона, в Д — 5 миллионов. Президент страны решил построить современный стадион, причем сделать это можно как в городе, так и в любой другой точке страны (отрезка). В какой точке отрезка следует построить стадион, чтобы минимизировать суммарное расстояние до стадиона всех жителей страны?
Решение
Пусть $S(x)$ — суммарное расстояние всех жителей страны до точки с координатой $x$. Докажем, что на отрезке $[0;1]$ функция $S(x)$ достигает своего минимума в точке 0,75. Рассмотрим сначала точки $x$, такие, что $0 \le x < 0{,}75$. Докажем, что $S(x) > S(0{,}75)$. Расстояние между точками 0,75 и $x$ равно $0{,}75-x$. Следовательно, для 9 миллионов человек, живущих в городах Г и Д, путь до точки $x$ длиннее, чем путь до точки 0,75. В сумме эта разность расстояний составляет $9\,000\,000(0{,}75-x)$. В то же время для 6 миллионов человек, живущих в городах А, Б и В, путь до точки $x$ короче, чем путь до точки 0,75 в сумме на $6000000(0{,}75-x)$. Таким образом, $S(x) - S(0{,}75) = 3\,000\,000(0{,}75-x) > 0$. Заметим, что верно и более сильное утверждение: чем левее точка $x$ от точки 0,75, тем дольше до нее добираться в сумме всем жителям страны. Итак, в точках с координатой $x<0{,}75$ строить стадион смысла нет. Пусть теперь $0{,}75 < x \le 1$. Докажем, что $S(x) > S(0{,}75)$. Расстояние между точками 0,75 и $x$ равно $x - 0{,}75$. Теперь в сумме для 10 миллионов человек (жителей городов А, Б, В, Г) путь до точки $x$ длиннее, чем путь до точки 0,75, на $10\,000\,000(x - 0,75)$, а для 5 миллионов человек, живущих в городе Д, путь до точки $x$ короче, чем путь до точки 0,75 на $5\,000\,000(x - 0,75)$. Отсюда следует, что $S(x) > S(0{,}75)$. Таким образом, мы доказали, что функция $S(x)$ достигает своего минимума в точке 0,75, поэтому стадион следует построить в точке 0,75.