Апофеоз-Арена
Для строительства стадиона "Апофеоз-Арена" правительство города С может привлечь подрядчиков. Ситуация такова, что подрядчик может вывести все средства в офшорную зону без возможности возврата с вероятностью $p(m)=0.31+0.02m-0.005m^2$, где $m$ - количество денежных средств в миллиардах рублей. В остальных случаях исчезают лишь 20% денежных средств. На строительство стадиона требуется не менее 1.6 миллиардов рублей (после вычета коррупции), а с точки зрения закона никакой подрядчик не может получить более 10 миллиардов рублей за строительство стадиона. Полезность, которую правительство города С получает от факта постройки стадиона, равна $u=const$, а на общую функцию полезности $TU$ прямо пропорционально отрицательно влияет количество денег, которые недобросовестные подрядчики так или иначе своровали. A. Какое оптимальное значение $m$ выберет правительство города С, чтобы максимизировать свою ожидаемую полезность? B. Допустим, в городе С бесконечное число строительных фирм, готовых выполнить данный проект. Правительству города С поступило предложение от компании "Два процента", которая готова взять на себя найм подрядчиков и аудит. Известно, что благодаря тщательному подбору подрядчиков и качественному аудиту компания "Два процента" сводит на нет коррупцию и вывод средств в офшорную зону. За свои услуги компания возьмёт ровно 2% от стоимости $M$ контракта, заключенного с правительством города С. При каких значениях $M$ правительство заключит контракт, если теперь оно минимизирует свои издержки по сравнению с издержками при оптимальным значении в пункте А? C. Как изменится ответ на предыдущий пункт, если бы в городе С было всего 5 строительных фирм?
Решение
А. Составим и преобразуем функцию полезности: $$TU(m)=u-m*p(m)-0.2m*(1-p(m))=u-0.8m*(0.31+0.02m-0.005m^2)-0.2m=u+0.004m^3-0.016m^2-0.488m$$ Найдём производную этой функции: $TU'(m)=0.012m^2-0.032m-0.488$ Найдём экстремумы функции полезности: $TU'(m)=0$, $0.012m^2-0.032m-0.488=0$, |$*250$ $3m^2-8m-122=0$, $m_1=\frac{8-\sqrt{1408}}{6} \approx -4.9$, $m_2=\frac{8+\sqrt{1408}}{6} \approx 7.6$ Заметим, что график функции $TU'(m)$ - парабола с ветвями вверх. Тогда $m_1$ - локальный максимум функции $TU(m)$, а $m_2$ - локальный минимум этой функции. На участке $-4.9 \le m \le 7.6$ производная функции $TU(m)$ отрицательна, тогда и на участке $2 \le m \le 7.6$ производная функции полезности отрицательна, то есть на данном участке оптимумом является $m=2$. Аналогично рассуждая, на участке $7.6 \le m \le 10$ оптимумом будет являться $m=10$. Поскольку $TU(2) < TU(10)$, оптимальным значением будет $m=10$. В решении этого пункта подразумевалось, что заказ может выполнить не только первый, а в том числе какой-либо другой подрядчик, при этом оптимальным значением каждый раз будет $m=10$, поскольку невозвратные издержки не влияют на выбор правительства города. В. Согласно пункту А, оптимальным значением является $m=10$, тогда $p(m)=p(10)=0.01$. Тогда подрядчик не выполняет работу с вероятностью 0.01. С вероятностью 0.99 город использует 1 подрядчика, то есть заплатит 10 миллиардов рублей. С вероятность 0.01*0.99 город использует 2 подрядчиков, заплатив 20 миллиардов рублей. С вероятностью $0.99*0.01^{i-1}$ город заплатит 10i миллиардов рублей. Таким образом при большой выборке различных городов С, город ожидаемо заплатит $TC_{ср}=\sum 9.9i*0.01^{i-1}$ при $i$ от 1 до бесконечности. Этот ряд сходится: $TC_{ср}=\sum 9.9i*0.01^{i-1} =10.(10)$. Тогда $M \le TC_{ср}$, $M \le 10.(10)$. К слову, доля средств, которые составляют прибыль компании "Два процента", никак не влияет на решение и ответ. C. В этом случае город в среднем заплатит $TC_{ср}=\sum 9.9i*0.01^{i-1}$ при $i$ от 1 до 5. Тогда $TC_{ср}=10.101010095$. Тогда $M \le 10.101010095$. Ответ: A. $m=10$ B. $M \le 10.(10)$ C. $M \le 10.101010095$